如图,点B在线段AC上,点D,E在AC同侧,∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC. (1)求证:AC=AD+CE;
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/29 09:33:51
如图,点B在线段AC上,点D,E在AC同侧,∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC. (1)求证:AC=AD+CE;(2)若AD
如图,点B在线段AC上,点D,E在AC同侧,∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC. ![]() (1)求证:AC=AD+CE; (2)若AD=3,CE=5,点P为线段AB上的动点,连接DP,作PQ⊥DP,交直线BE于点Q; (i)当点P与A,B两点不重合时,求 ![]() (ii)当点P从A点运动到AC的中点时,求线段DQ的中点所经过的路径(线段)长.(直接写出结果,不必写出解答过程) |
(1)证明:如图,∵BD⊥BE,∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°。
∵∠C=90°,∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°。∴∠1=∠E。
∵在△ABD和△CEB中,∠1=∠E,∠A=∠C=90°,AD=BC,
∴△ABD≌△CEB(AAS)。∴AB=CE。
∴AC=AB+BC=AD+CE。
(2)(i)如图,连接DQ,
∵∠DPQ=∠DBQ="90°,"
∴D、P、B、Q四点在以DQ为直径的圆上。
∴∠DQP=∠DBP。
∴Rt△DPQ∽Rt△DAB。∴
。
∵DA=3,AB=EC=5,∴
。
(ii)线段DQ的中点所经过的路径(线段)长为
。
(1)根据同角的余角相等求出∠1=∠E,再利用“角角边”证明△ABD和△CEB全等,根据全等三角形对应边相等可得AB=CE,然后根据AC=AB+BC整理即可得证。
(2)(i)如图,连接DQ,由∠DPQ=∠DBQ=90°得到D、P、B、Q四点在以DQ为直径的圆上,从而可得Rt△DPQ∽Rt△DAB,因此
。
(ii)线段DQ的中点所经过的路径(线段)就是△BDQ的中位线MN。
当点P运动至AC中点时,AP=4,
∴在Rt△ADP中,根据勾股定理得:DP=5。
由
得
。
∴在Rt△DPQ中,根据勾股定理得:
。
又在Rt△ADP中,根据勾股定理得:
。
∵MN是△BDQ的中位线,
∴
。
∴在Rt△DMN中,根据勾股定理得:
。
∴线段DQ的中点所经过的路径(线段)长为
。
∵∠C=90°,∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°。∴∠1=∠E。
∵在△ABD和△CEB中,∠1=∠E,∠A=∠C=90°,AD=BC,
∴△ABD≌△CEB(AAS)。∴AB=CE。
∴AC=AB+BC=AD+CE。
(2)(i)如图,连接DQ,
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/0c/60c2beb99c5a95fa9e748729a0ce005d.jpg)
∵∠DPQ=∠DBQ="90°,"
∴D、P、B、Q四点在以DQ为直径的圆上。
∴∠DQP=∠DBP。
∴Rt△DPQ∽Rt△DAB。∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/f5/9f5d06e8eacf67c361efdac40737c896.jpg)
∵DA=3,AB=EC=5,∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/ea/aea494e53f709b5e653c159203a95eeb.jpg)
(ii)线段DQ的中点所经过的路径(线段)长为
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/ca/1ca856a028cd7f7aa1f7a60961bdca61.jpg)
(1)根据同角的余角相等求出∠1=∠E,再利用“角角边”证明△ABD和△CEB全等,根据全等三角形对应边相等可得AB=CE,然后根据AC=AB+BC整理即可得证。
(2)(i)如图,连接DQ,由∠DPQ=∠DBQ=90°得到D、P、B、Q四点在以DQ为直径的圆上,从而可得Rt△DPQ∽Rt△DAB,因此
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/ea/aea494e53f709b5e653c159203a95eeb.jpg)
(ii)线段DQ的中点所经过的路径(线段)就是△BDQ的中位线MN。
当点P运动至AC中点时,AP=4,
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/8c/c8c921427e8625eb224adb07bc94d2b6.jpg)
∴在Rt△ADP中,根据勾股定理得:DP=5。
由
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/df/3df5b5dea69945fd91a01e9d36a60231.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/27/a2712c500f8fdc91fea158caa3c5e749.jpg)
∴在Rt△DPQ中,根据勾股定理得:
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/43/043fe2e7cccf27084086e7e9ad2a7752.jpg)
又在Rt△ADP中,根据勾股定理得:
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/a9/1a958a0c8f4121b3994ff42762415fdf.jpg)
∵MN是△BDQ的中位线,
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/26/d265917228e2d3b9e25bc9781e7d140e.jpg)
∴在Rt△DMN中,根据勾股定理得:
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/48/848044afeca75d6efa59388750fdd66d.jpg)
∴线段DQ的中点所经过的路径(线段)长为
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/ca/1ca856a028cd7f7aa1f7a60961bdca61.jpg)
如图,在△ABC中,∠A与∠B互余,CD⊥AB,垂足为点D,DE∥BC,交AC于点E,求证:AD:AC=CE:BD.
如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点D为AB上一点,AD=AC,ED⊥AB于点D,求证:BD=DE=CE
已知:如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,交AD于点H,AD=BD,AC=BH,连接CH.求证:∠A
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E.AD⊥CE于点D.
已知:如图,在等腰三角形ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD与AC交于点D,DE⊥BC于点E.求证:AD=CE.
如图,在三角形ABC中,AB=AC,D是BC边上的一点,点E在线段AD上,BE=CE
已知,如图,在等边三角形ABC中,点D E分别在BC AC上,BD=CE,连接AD,BE交于点F,求证∠AFE=60°
如图所示,在三角形ABC中,∠B=∠C,D,E,F分别在AB,BC,AC上,且BD=CE,BE=CF,求证点E在线段DF
如图,点A、B、D、E在同一直线上,AD=EB,BC∥DF,∠C=∠F.求证:AC=EF.
如图,已知点A、C分别在线段BE、BD上,分别连接AC、EC、AD,求证:角CAD+角ACE+角B+角D+角E=180度
如图,已知等边△ABC中,点D、E分别在BC、AC上,且BD=CE,AD与BE相较于点F.当AD=a,DF=b时,求BD
已知,如图,D、E分别为AB、AC上的点,AC=BC=BD,AD=AE,DE=CE,求∠B的度数