一道平面直角坐标系的题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 17:07:03

一道平面直角坐标系的题
在平面直角坐标系中,抛物线的顶点坐标为（1,-4）,交x轴于A、B两点（A点在B点的左边）,交y轴于点C,已知A、B两点之间的距离为4.
（1）求这个抛物线的解析式及C的坐标；我已求出 y=x²-2x-3 C(0,-3)
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使点P到B、C两点间的距离之差最大,若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.

解⑴：根据题意,A（－1,0）,B（3,0）,顶点（1,－4）
∴有方程组：
a+b+c＝－4
a－b+c＝0
9a+3b+c＝0
解得：a＝1,b＝－2,c＝－3.
∴这个抛物线的解析式：y＝x²－2x－3.
∵C点是抛物线与y轴的交点.
∴C（0,－3）
解⑵：
∵P在抛物线的对称轴上, 又,A、B是关于抛物线的对称轴对称
∴PB＝PA,即： |PB－PC|＝|PA－PC| ,（根据对称性,求P到B和C的距离之差就是求P到A和C的距离之差）
∴ P、C、A三点共线的时候这个差最大.
∴连接AC并延长与抛物线对称轴交与一点P即为所求.
∴根据A、C两点求出AC的方程：y＝－3x－3
∴AC与对称轴x＝1的交点P坐标为（1,－6）.

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