作业帮求解一道较难的不等式证明题目
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/08 05:12:31
求解一道较难的不等式证明题目
x,y,z∈[0,1] 求证（1+x)(1+Y)(1+Z)>=√8(x+y)(y+z)(x+z)
x,y,z∈[0,1] 求证（1+x)(1+Y)(1+Z)>=√8(x+y)(y+z)(x+z)
（1+x)(1+y)-2(x+y)=1+xy+x+y-2（x+y)=1+xy-（x+y)
=1-x+y(x-1)=(1-x)(1-y)>=0 (因为x,y,z∈[0,1] ）
所以（1+x)(1+y)>=2(x+y)
同理（1+x)(1+z)>=2(x+z)
（1+y)(1+z)>=2(y+z)
以上3式相乘
[（1+x)(1+Y)(1+Z)]^2>=8(x+y)(y+z)(x+z)
所以（1+x)(1+Y)(1+Z)>=√8(x+y)(y+z)(x+z)
=1-x+y(x-1)=(1-x)(1-y)>=0 (因为x,y,z∈[0,1] ）
所以（1+x)(1+y)>=2(x+y)
同理（1+x)(1+z)>=2(x+z)
（1+y)(1+z)>=2(y+z)
以上3式相乘
[（1+x)(1+Y)(1+Z)]^2>=8(x+y)(y+z)(x+z)
所以（1+x)(1+Y)(1+Z)>=√8(x+y)(y+z)(x+z)