一道有意思的概率,里面可能还是有意思的数列题.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/13 02:45:55
一道有意思的概率,里面可能还是有意思的数列题.
一个盒子里有一张卡片,共五种卡片,盒子数无限.问:要集齐这五种卡片,平均要买几盒?从这道题里,我算出了一个数列.形式如下:(a+b+c+d)+[a*(a+b+c+d)+b*(b+c+d)+c*(c+d)+d*d]+{a*[a*(a+b+c+d)+b*(b+c+d)+c*(c+d)+d*d]+b*[b*(b+c+d)+c*(c+d)+d*d]+c*[c*(c+d)+d*d]+d*(d*d)}+......但不知如何求极限.
题里就是“平均”,不是我多说的。我觉得这个平均就是高中学的数学期望。另外,5与5的5次方的平均数是怎么算出的?什么道理?
声明:这是同学问我的题,应该是是高中的题。我也才高考考完。
abei_945 说的“买1个得到A后,买到不是A的盒子数的期望为5/4,即B的期望为5/4盒”是怎么得出的?按高中求期望要列表,依次相加求和,5/4不知怎么得出。
一个盒子里有一张卡片,共五种卡片,盒子数无限.问:要集齐这五种卡片,平均要买几盒?从这道题里,我算出了一个数列.形式如下:(a+b+c+d)+[a*(a+b+c+d)+b*(b+c+d)+c*(c+d)+d*d]+{a*[a*(a+b+c+d)+b*(b+c+d)+c*(c+d)+d*d]+b*[b*(b+c+d)+c*(c+d)+d*d]+c*[c*(c+d)+d*d]+d*(d*d)}+......但不知如何求极限.
题里就是“平均”,不是我多说的。我觉得这个平均就是高中学的数学期望。另外,5与5的5次方的平均数是怎么算出的?什么道理?
声明:这是同学问我的题,应该是是高中的题。我也才高考考完。
abei_945 说的“买1个得到A后,买到不是A的盒子数的期望为5/4,即B的期望为5/4盒”是怎么得出的?按高中求期望要列表,依次相加求和,5/4不知怎么得出。
高中吗?
这么理解,买盒子得到的卡片随机.
第一个盒子随机得到A;
第二个盒子不是A的概率为4/5,记为B;
第三个盒子不是A、B的概率为3/5,记为C;
第四个盒子不是A、B、C的概率为2/5,记为D;
第五个盒子不是A、B、C、D的概率为1/5,记为E;
买1个得到A后,买到不是A的盒子数的期望为5/4,即B的期望为5/4盒,其他类推.
因此平均要买的盒子数=1+5/4+5/3+5/2+5/1=137/5.
大概要买28盒才能齐全.
【补充:】以不是A的期望为例
买1个得到A后,
第1张买到不是A的概率为4/5;
第2张买到不是A的概率为(1/5)(4/5);
第3张买到不是A的概率为(1/5)^2(4/5);
第4张买到不是A的概率为(1/5)^3(4/5);
……
期望E=1*(4/5)+2*(1/5)(4/5)+3*(1/5)^2(4/5)+……+(4/5)*(n-1)*(1/5)^(n-2)+(4/5)*n*(1/5)^(n-1)
各项乘以1/5得:
E/5=1*(1/5)*(4/5)+2*(1/5)^2(4/5)+……+(4/5)*(n-1)*(1/5)^(n-1) +(4/5)*n*(1/5)^(n)
相减得:4E/5=4/5(1+1/5+(1/5)^2+……+(1/5)^(n-1)) +(4/5)*n*(1/5)^(n)
4E/5=(4/5)*(1-(1/5)^n)/(1-1/5)+(4/5)*n*(1/5)^(n)
N趋向无穷时,4E/5=1
所以E=5/4.
这么理解,买盒子得到的卡片随机.
第一个盒子随机得到A;
第二个盒子不是A的概率为4/5,记为B;
第三个盒子不是A、B的概率为3/5,记为C;
第四个盒子不是A、B、C的概率为2/5,记为D;
第五个盒子不是A、B、C、D的概率为1/5,记为E;
买1个得到A后,买到不是A的盒子数的期望为5/4,即B的期望为5/4盒,其他类推.
因此平均要买的盒子数=1+5/4+5/3+5/2+5/1=137/5.
大概要买28盒才能齐全.
【补充:】以不是A的期望为例
买1个得到A后,
第1张买到不是A的概率为4/5;
第2张买到不是A的概率为(1/5)(4/5);
第3张买到不是A的概率为(1/5)^2(4/5);
第4张买到不是A的概率为(1/5)^3(4/5);
……
期望E=1*(4/5)+2*(1/5)(4/5)+3*(1/5)^2(4/5)+……+(4/5)*(n-1)*(1/5)^(n-2)+(4/5)*n*(1/5)^(n-1)
各项乘以1/5得:
E/5=1*(1/5)*(4/5)+2*(1/5)^2(4/5)+……+(4/5)*(n-1)*(1/5)^(n-1) +(4/5)*n*(1/5)^(n)
相减得:4E/5=4/5(1+1/5+(1/5)^2+……+(1/5)^(n-1)) +(4/5)*n*(1/5)^(n)
4E/5=(4/5)*(1-(1/5)^n)/(1-1/5)+(4/5)*n*(1/5)^(n)
N趋向无穷时,4E/5=1
所以E=5/4.