线性空间的子空间一定有补空间吗?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/04 21:57:00

线性空间的子空间一定有补空间吗?
已知线性空间U是线性空间V的子空间,求证存在线性空间W使得
U交W={0}
U+W=V
其中"+"代表直和.
或者您能举出反例也可.
一楼的论证对有限维是没问题的，但对于U和V都是无限维的情况怎么办呢？

你的补充说得非常正确,对于有限维是很容易证明是正确的
但对于无限维,情况要复杂了,首先分两种,V无限可列或者无限不可列
然后可数维里又分
1)U也是无限维
2)U为有限维
对于V无限可列的时候
结论还是对的,证明却变得比较繁琐,建议你参看近世代数,北大出版社的里面有详细证明
对于V不可列,比如R^2域,只要令U为R域可知结论是错的
再问：苦于现在手边没有代数方面的书啊。请问对于V无限可列的情况，是否用到基的存在性或者选择公理呢？
再答：选择公理是一定用到的,基的存在性我不记得了,我几年没碰了,框架和结论我都还记得,复杂的证明过程很多都很难不拿书再现出来

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