作业帮积分求旋转体的体积当遇到两函数相交的部分是分开积分求体积差.什么时候是用两函数相减再积分?区别?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 02:38:03
积分求旋转体的体积
当遇到两函数相交的部分是分开积分求体积差.什么时候是用两函数相减再积分?区别?
当遇到两函数相交的部分是分开积分求体积差.什么时候是用两函数相减再积分?区别?
例如考虑y=f(x)在x=a,x=b围成的区域绕x轴旋转一周的体积公式为V=∫[a,b] πf²(x)dx
所以由y=f(x),y=g(x)在x=a,x=b围成的区域绕x轴一周的体积公式为V=∫[a,b] [πf²(x)-πg²(x)d]x,假设
f(x)≥g(x)
而在计算这种体积的时候一般不能用∫[a,b] π[f(x)-g(x)]²dx计算
拿个最简单的例子来讲
f(x)=2,g(x)=1跟x=1,x=2为成的区域绕x轴旋转一周的体积计算中,所形成的立体是个去心圆柱.
∫[1,2] πf²(x)dx表示底面半径为2,高为1的圆柱体体积,
∫[1,2] πg²(x)dx表示底面半径为1,高为1的圆柱体体积,
V=∫[1,2] [πf²(x)-πg²(x)d]x表示所求的去心圆柱的体积
而∫[1,2] π[f(x)-g(x)]²dx=∫[1,2] π1²dx表示的是底面半径为1,高为1的圆柱体积,
此时f(x)-g(x)形成了一个新的曲线,它到x轴的距离刚好和f(x)与g(x)的距离一致!
而∫[a,b] π[f(x)-g(x)]²dx计算的刚好是这条新的曲线绕x轴一周的旋转体体积!
显然,两种方法计算出来的旋转体是完全不一样的!
所以由y=f(x),y=g(x)在x=a,x=b围成的区域绕x轴一周的体积公式为V=∫[a,b] [πf²(x)-πg²(x)d]x,假设
f(x)≥g(x)
而在计算这种体积的时候一般不能用∫[a,b] π[f(x)-g(x)]²dx计算
拿个最简单的例子来讲
f(x)=2,g(x)=1跟x=1,x=2为成的区域绕x轴旋转一周的体积计算中,所形成的立体是个去心圆柱.
∫[1,2] πf²(x)dx表示底面半径为2,高为1的圆柱体体积,
∫[1,2] πg²(x)dx表示底面半径为1,高为1的圆柱体体积,
V=∫[1,2] [πf²(x)-πg²(x)d]x表示所求的去心圆柱的体积
而∫[1,2] π[f(x)-g(x)]²dx=∫[1,2] π1²dx表示的是底面半径为1,高为1的圆柱体积,
此时f(x)-g(x)形成了一个新的曲线,它到x轴的距离刚好和f(x)与g(x)的距离一致!
而∫[a,b] π[f(x)-g(x)]²dx计算的刚好是这条新的曲线绕x轴一周的旋转体体积!
显然,两种方法计算出来的旋转体是完全不一样的!