已知抛物线y=a(x-t-2)2+t2(a,t是常数,a≠0,t≠0)的顶点是P点,与x轴交于A(2,0)、B两点.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 19:46:48
已知抛物线y=a(x-t-2)2+t2(a,t是常数,a≠0,t≠0)的顶点是P点,与x轴交于A(2,0)、B两点.
(1)①求a的值;
②△PAB能否构成直角三角形?若能,求出t的值:若不能,说明理由.
(2)若t>0,点F(0,-1),把抛物线y=a(x-t-2)2+t2向左平移t个单位后与x轴的正半轴交于M、N两点,当t为何值时,过F、M、N三点的圆的面积最小?并求这个圆面积的最小值.
(1)①求a的值;
②△PAB能否构成直角三角形?若能,求出t的值:若不能,说明理由.
(2)若t>0,点F(0,-1),把抛物线y=a(x-t-2)2+t2向左平移t个单位后与x轴的正半轴交于M、N两点,当t为何值时,过F、M、N三点的圆的面积最小?并求这个圆面积的最小值.
(1)①把A(2,0)代入y=a(x-t-2)2+t2得:at2+t2=0,┅(2分)
∵t≠0,∴a=-1;┅(3分)
②△PAB能构成直角三角形,理由为:
将a=-1代入抛物线解析式得:y=-(x-t-2)2+t2,
当y=0时,-(x-t-2)2+t2=0,即(x-t-2)2=t2,
开方得:x-t-2=t或x-t-2=-t,
解得:x1=2,x2=2t+2,
∴B(2t+2,0),┅(4分)
分两种情况:
(i)当t>0时,点B在点A的右侧,OA=2,OB=2t+2,
假设△PAB是直角三角形,如图1所示:过P作PQ⊥AB于Q,
则PQ=
1
2AB,┅(5分)
∵抛物线的顶点坐标为(t+2,t2),
∴PQ=t2,
∵AB=OB-OA=(2t+2)-2=2t,
∴t2=t,即t(t-1)=0,
解得:t1=1,t2=0(不合题意舍去);┅(6分)
(ii)当t<0时,点B在点A的左侧,
假设△PAB是直角三角形,如图2所示:过P作PQ⊥AB于Q,
同理:PQ=
1
2AB,
∵AB=OA-OB=2-(2t+2)=-2t,PQ=t2,
∴t2=-t,┅(7分)
即t(t+1)=0,
解得:t1=-1,t2=0(不合题意舍去),┅(8分)
则当t=±1时,△PAB是直角三角形;
(2)不妨设点M在点N的左侧,
原抛物线向左平移t个单位后与x轴的交点M(2-t,0)、N(t+2,0),
MN的垂直平分线为直线x=2,垂足为H,┅(9分)
如图3所示,∵CF垂直于y轴时,CF的长度最小,
∴⊙C半径的最小值为2,┅(10分)
此时CM=CF=2,⊙C的最小面积为4π,┅(11分)
∵F(0,-1),∴CH=OF=1,
在Rt△CMH中,MH=OH-OM=2-(2-t)=t,
根据勾股定理得:CH2+MH2=CM2,┅(12分)
∴12+t2=22,解得:t1=
3,t2=-
3(不合题意舍去),┅(13分)
则当t=
3时,过F、M、N三点圆的面积最小,最小面积为4π.┅(14分)
已知抛物线y=a(x-t-1)2+t2(a,t是常数,a≠0,t≠0)的顶点是A,抛物线y=x2-2x+1的顶点是B.
已知抛物线y=a(x-t-1)2+t2 (a,t是常数,a≠0,t≠0)的顶点是A,抛物线y=x2-2x+1的顶点是B.
已知抛物线y=ax平方+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的顶点为p(-2,4)与x轴交与A、B两点且△PAB的面积为
已知抛物线y=ax²+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的顶点为P(-2,4),与x轴交于A、B两点,且△P
已知抛物线y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的顶点为P(-2,4),与X轴交于A,B两点,且△PAB的面
已知抛物线y=a(x-t-1)²+t²(a,t是常数,a≠0,t≠0)的顶点是A,抛物线y=x
已知抛物线与x轴交于A(m,0),b(n,0)两点,与y轴交于C(0,3),点P是抛物线的顶点,若m-n=2,mn=3
已知抛物线y=ax^2+bx+c的顶点是(-1,-4),且与x轴交与A,B(1,0)两点,交y轴于点C.1.求此抛物线解
如图抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,D是抛物线的顶点,已知CD=2;
(2014•齐齐哈尔)如图,已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于C、D两点,点P是
如图,顶点坐标为(2,-1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点.
已知:以点c(t,2/t)(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.