(2012•莆田质检)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,点D是射线CA上的一个动点 
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/24 15:19:48
(2012•莆田质检)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,点D是射线CA上的一个动点 (不与A、C重合),DE⊥直线AB于E点,点F是BD的中点,过点F作FH⊥直线AB于H点,连接EF,设AD=x.
(1)①若点D在AC边上,求FH的长(用含x的式子表示);
②若点D在射线CA上,△BEF的面积为S,求S与x的函数关系式,并写出x的取值范围.
(2)若点D在AC边上,点P是AB边上的一个动点,DP与EF相交于O点,当DP+FP的值最小时,猜想DO与PO之间的数量关系,并加以证明.
(1)①若点D在AC边上,求FH的长(用含x的式子表示);
②若点D在射线CA上,△BEF的面积为S,求S与x的函数关系式,并写出x的取值范围.
(2)若点D在AC边上,点P是AB边上的一个动点,DP与EF相交于O点,当DP+FP的值最小时,猜想DO与PO之间的数量关系,并加以证明.
(1)①
∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=
AC2+BC2=
82+62=10,
方法一:sinA=
BC
AB=
6
10=
3
5,
∵∠AED=90°,∴DE=AD•sinA=
3
5x,
∵∠DEB=90°,F是BD的中点,
∴EF=BF,
∵FH⊥AB,
∴EH=BH
∴FH=
1
2DE=
3
10x;
方法二:∵∠AED=∠ACB=90°,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,
∴
DE
BC=
AD
AB,
∴
DE
6=
x
10,
∴DE=
3
5x,
∵∠DEB=90°,F是BD的中点,
∴EF=BF
∵FH⊥AB∴EH=BH∴FH=
1
2DE=
3
10x,
②∵△ADE∽△ABC,
∴
AE
AC=
AD
AB,
∴AE=
4
5x,
有两种情况:(Ⅰ)当点D在AC边上时,如图1:
∵BE=10−
4
5x,
∴S=
1
2BE•FH=
1
2(10−
4
5x)•
3
10x,
∴S=−
3
25x2+
3
2x,(0<x<8),
(Ⅱ)当点D在CA延长线上时,如图2:
同理得:FH=
1
2
∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=
AC2+BC2=
82+62=10,
方法一:sinA=
BC
AB=
6
10=
3
5,
∵∠AED=90°,∴DE=AD•sinA=
3
5x,
∵∠DEB=90°,F是BD的中点,
∴EF=BF,
∵FH⊥AB,
∴EH=BH
∴FH=
1
2DE=
3
10x;
方法二:∵∠AED=∠ACB=90°,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,
∴
DE
BC=
AD
AB,
∴
DE
6=
x
10,
∴DE=
3
5x,
∵∠DEB=90°,F是BD的中点,
∴EF=BF
∵FH⊥AB∴EH=BH∴FH=
1
2DE=
3
10x,
②∵△ADE∽△ABC,
∴
AE
AC=
AD
AB,
∴AE=
4
5x,
有两种情况:(Ⅰ)当点D在AC边上时,如图1:
∵BE=10−
4
5x,
∴S=
1
2BE•FH=
1
2(10−
4
5x)•
3
10x,
∴S=−
3
25x2+
3
2x,(0<x<8),
(Ⅱ)当点D在CA延长线上时,如图2:
同理得:FH=
1
2
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,点D是射线CA上的一个动点 (不与A、C重合),DE⊥直线
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