作业帮4.25x-x=4.55解方程还需要检验呢
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 18:38:52
4.25x-x=4.55解方程还需要检验呢
重点：等式的性质,同类项的概念及正确合并同类项,各种情形的一元一次方程的解法；
难点：准确运用等式的性质进行方程同解变形(即进行移项,去分母,去括号,系数化一等步骤的符号问题,遗漏问题)；
学习要点评述：对初学的同学来讲,解一元一次方程的方法很容易掌握,但此处有点类似于前面的有理数混合运算,每个题都感觉会做,但就是不能保证全对.从而在学习时一方面要反复关注方程变形的法则依据,用法则指导变形步骤,另一方面还需不断关注易错点和追求计算过程的简捷.
范例分析：
例1.
(1)下列结论中正确的是( )
A.在等式3a-6=3b+5的两边都除以3,可得等式a-2=b+5
B.在等式7x=5x+3的两边都减去x-3,可以得等式6x-3=4x+6
C.在等式-5=0.1x的两边都除以0.1,可以得等式x=0.5
D.如果-2=x,那么x=-2
(2)解方程20-3x=5,移项后正确的是( )
A.-3x=5+20 B.20-5=3x C.3x=5-20 D.-3x=-5-20
(3)解方程-x=-30,系数化为1正确的是( )
A.-x=30 B.x=-30 C.x=30 D.
(4)解方程 ,下列变形较简便的是( )
A.方程两边都乘以20,得4(5x-120)=140
B.方程两边都除以 ,得
C.去括号,得x-24=7
D.方程整理,得
解析：
(1) 正确选项D.方程同解变形的理论依据一为数的运算法则,运算性质；一为等式性质(1)、(2)、(3),通常都用后者,性质中的关键词是“两边都”和“同一个”,即对等式变形必须两边同时进行加或减或乘或除以,不可漏掉一边、一项,并且加减乘或除以的数或式完全相同.选项A错误,原因是没有将“等号”右边的每一项都除以3；选项B错误,原因是左边减去x-3时,应写作“-(x-3)”而不“-x-3”,这里有一个去括号的问题；C亦错误,原因是思维跳跃短路,一边记着是除以而到另一边变为乘以了,对一般象这样小数的除法可以运用有理数运算法则变成乘以其倒数较为简捷,选项D正确,这恰好是等式性质③对称性即a=bb=a.
(2) 正确选项B.解方程的“移项”步骤其实质就是在“等式的两边同加或减同一个数或式”性质①,运用该性质且化简后恰相当于将等式一边的一项变号后移到另一边,简单概括就成了“移项”步骤,此外最易错的就是“变号”的问题,如此题选项A、C、D均出错在此处.解决这类易错点的办法是：或记牢移项过程中的符号法则,操作此步骤时就予以关注；或明析其原理,移项就是两边同加或减该项的相反数,使该项原所在的这边不再含该项----即代数和为0.
(3)正确选项C.选项B、D错误的原因虽为计算出错,但细究原因都是在变形时,法则等式性质指导变形意识淡,造成思维短路所致.
(4)等式性质及方程同解变形的法则虽精炼,但也很宏观,具体到每一个题还需视题目的具体特点灵活运用,解一道题目我们不光追求解出,还应有些简捷意识,如此处的选项A、B、D所提供方法虽然都是可行方法,但与选项C相比,都显得繁.
例2.
(1)若式子 3nxm+2y4和 -mx5yn-1能够合并成一项,试求m+n的值.
(2)下列合并错误的个数是( )
①5x6+8x6=13x12
②3a+2b=5ab
③8y2-3y2=5
④6anb2n-6a2nbn=0
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析：
(1)3nxm+2y4和-mx5yn-1能够合并,则说明它们是同类项,即所含字母相同,且相同字母的指数也相同.此题两式均各含三个字母n、x、y和m、x、y,若把m、n分别看成2个字母,则此题显然与概念题设不合,故应该把m、n看作是可由已知条件求出的常数,从而该归并为单项式的系数,再从同类项的概念出发,有：
解得m=3 ,n=5
从而m+n=8
评述：运用概念定义解决问题是数学中常用的方法之一,本题就是准确地理解了“同类项”、“合并”的概念,认真进行了逻辑判断；确定了m、n为可确定值的系数.
(2)“合并”只能在同类项之间进行,且只对同类项间的系数进行加减运算化简,这里的实质是逆用乘法对加法的分配律,所以4个合并运算,全部错误,其中②、④就不是同类项,不可合并,①、②分别应为：5x6+8x6=13x6 8y2-3y2=5y2
例3.解下列方程
(1)8-9x=9-8x
(2)
(3)
(4)
(1)8-9x=9-8x
-9x+8x=9-8
-x=1
x=1
易错点关注：移项时忘了变号；
(2)
法一：
4(2x-1)-3(5x+1)=24
8x-4-15x-3=24
-7x=31
易错点关注：两边同乘兼约分去括号,有同学跳步急赶忘了, 4(2x-1)化为8x-1,分配需逐项分配,
-3(5x+1)化为-15x+3忘了去括号变号；
法二：(就用分数算)
此处易错点是第一步拆分式时将 ,忽略此处有一个括号前面是负号,去掉括号要变号的问题,即 ；
(3)
6x-3(3-2x)=6-(x+2)
6x-9+6x=6-x-2
12x+x=4+9
13x=13
x=1
易错点关注：两边同乘,每项均乘到,去括号注意变号；
(4)
2(4x-1.5)-5(5x-0.8)=10(1.2-x)
8x-3-25x+4=12-10x
8x-25x+10x=12+3-4
-7x=11
评述：此题首先需面对分母中的小数,有同学会忘了小数运算的细则,不能发现 ,而是两边同乘以0.5×0.2进行去分母变形,更有思维跳跃的同学认为0.5×0.2=1,两边同乘以1,将方程变形为：0.2(4x-1.5)-0.5(5x-0.8)=10(1.2-x)
概述：无论什么样的一元一次方程,其解题步骤概括无非就是“移项,合并,未知数系数化1”这几个步骤,从操作步骤上来讲很容易掌握,但由于进行每个步骤时都有些需注意的细节,许多都是我们认识问题的思维瑕点,需反复关注,并落实理解记忆才能保证解方程问题――做的正确率.若仍不够自信,还可以用检验步骤予以辅助,理解方程“解”的概念.
例4.下列方程后面括号内的数,都是该方程的解的是( )
A.4x-1=9
B.
C.x2+2=3x (-1,2)
D.(x-2)(x+5)=0 (2,-5)
分析：依据方程解的概念,解就是代入方程能使等式成立的值,分别将括号内的数代入方程两边,求方程两边代数式的值,只有选项D中的方程式成立,故选D.
评述：依据方程解的概念,解完方程后,若能有将解代入方程检验的习惯将有助于促使发现易错点,提高解题的正确率.
例5.根据以下两个方程解的情况讨论关于x的方程ax=b(其中a、b为常数)解的情况.
(1)3x+1=3(x-1)
(2)
解:
(1)3x+1=3(x-1)
3x-3x=-3-1
0·x=-4
显然,无论x取何值,均不能使等式成立,所以方程3x+1=3(x-1)无解.
(2)
0·x=0
显然,无论x取何值,均可使方程成立,所以该方程的解为任意数.
由(1)(2)可归纳：
对于方程ax=b
当a≠0时,它的解是 ；
当a=0时,又分两种情况：
①当b=0时,方程有无数个解,任意数均为方程的解；
②当b≠0时,方程无解.
难点：准确运用等式的性质进行方程同解变形(即进行移项,去分母,去括号,系数化一等步骤的符号问题,遗漏问题)；
学习要点评述：对初学的同学来讲,解一元一次方程的方法很容易掌握,但此处有点类似于前面的有理数混合运算,每个题都感觉会做,但就是不能保证全对.从而在学习时一方面要反复关注方程变形的法则依据,用法则指导变形步骤,另一方面还需不断关注易错点和追求计算过程的简捷.
范例分析：
例1.
(1)下列结论中正确的是( )
A.在等式3a-6=3b+5的两边都除以3,可得等式a-2=b+5
B.在等式7x=5x+3的两边都减去x-3,可以得等式6x-3=4x+6
C.在等式-5=0.1x的两边都除以0.1,可以得等式x=0.5
D.如果-2=x,那么x=-2
(2)解方程20-3x=5,移项后正确的是( )
A.-3x=5+20 B.20-5=3x C.3x=5-20 D.-3x=-5-20
(3)解方程-x=-30,系数化为1正确的是( )
A.-x=30 B.x=-30 C.x=30 D.
(4)解方程 ,下列变形较简便的是( )
A.方程两边都乘以20,得4(5x-120)=140
B.方程两边都除以 ,得
C.去括号,得x-24=7
D.方程整理,得
解析：
(1) 正确选项D.方程同解变形的理论依据一为数的运算法则,运算性质；一为等式性质(1)、(2)、(3),通常都用后者,性质中的关键词是“两边都”和“同一个”,即对等式变形必须两边同时进行加或减或乘或除以,不可漏掉一边、一项,并且加减乘或除以的数或式完全相同.选项A错误,原因是没有将“等号”右边的每一项都除以3；选项B错误,原因是左边减去x-3时,应写作“-(x-3)”而不“-x-3”,这里有一个去括号的问题；C亦错误,原因是思维跳跃短路,一边记着是除以而到另一边变为乘以了,对一般象这样小数的除法可以运用有理数运算法则变成乘以其倒数较为简捷,选项D正确,这恰好是等式性质③对称性即a=bb=a.
(2) 正确选项B.解方程的“移项”步骤其实质就是在“等式的两边同加或减同一个数或式”性质①,运用该性质且化简后恰相当于将等式一边的一项变号后移到另一边,简单概括就成了“移项”步骤,此外最易错的就是“变号”的问题,如此题选项A、C、D均出错在此处.解决这类易错点的办法是：或记牢移项过程中的符号法则,操作此步骤时就予以关注；或明析其原理,移项就是两边同加或减该项的相反数,使该项原所在的这边不再含该项----即代数和为0.
(3)正确选项C.选项B、D错误的原因虽为计算出错,但细究原因都是在变形时,法则等式性质指导变形意识淡,造成思维短路所致.
(4)等式性质及方程同解变形的法则虽精炼,但也很宏观,具体到每一个题还需视题目的具体特点灵活运用,解一道题目我们不光追求解出,还应有些简捷意识,如此处的选项A、B、D所提供方法虽然都是可行方法,但与选项C相比,都显得繁.
例2.
(1)若式子 3nxm+2y4和 -mx5yn-1能够合并成一项,试求m+n的值.
(2)下列合并错误的个数是( )
①5x6+8x6=13x12
②3a+2b=5ab
③8y2-3y2=5
④6anb2n-6a2nbn=0
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析：
(1)3nxm+2y4和-mx5yn-1能够合并,则说明它们是同类项,即所含字母相同,且相同字母的指数也相同.此题两式均各含三个字母n、x、y和m、x、y,若把m、n分别看成2个字母,则此题显然与概念题设不合,故应该把m、n看作是可由已知条件求出的常数,从而该归并为单项式的系数,再从同类项的概念出发,有：
解得m=3 ,n=5
从而m+n=8
评述：运用概念定义解决问题是数学中常用的方法之一,本题就是准确地理解了“同类项”、“合并”的概念,认真进行了逻辑判断；确定了m、n为可确定值的系数.
(2)“合并”只能在同类项之间进行,且只对同类项间的系数进行加减运算化简,这里的实质是逆用乘法对加法的分配律,所以4个合并运算,全部错误,其中②、④就不是同类项,不可合并,①、②分别应为：5x6+8x6=13x6 8y2-3y2=5y2
例3.解下列方程
(1)8-9x=9-8x
(2)
(3)
(4)
(1)8-9x=9-8x
-9x+8x=9-8
-x=1
x=1
易错点关注：移项时忘了变号；
(2)
法一：
4(2x-1)-3(5x+1)=24
8x-4-15x-3=24
-7x=31
易错点关注：两边同乘兼约分去括号,有同学跳步急赶忘了, 4(2x-1)化为8x-1,分配需逐项分配,
-3(5x+1)化为-15x+3忘了去括号变号；
法二：(就用分数算)
此处易错点是第一步拆分式时将 ,忽略此处有一个括号前面是负号,去掉括号要变号的问题,即 ；
(3)
6x-3(3-2x)=6-(x+2)
6x-9+6x=6-x-2
12x+x=4+9
13x=13
x=1
易错点关注：两边同乘,每项均乘到,去括号注意变号；
(4)
2(4x-1.5)-5(5x-0.8)=10(1.2-x)
8x-3-25x+4=12-10x
8x-25x+10x=12+3-4
-7x=11
评述：此题首先需面对分母中的小数,有同学会忘了小数运算的细则,不能发现 ,而是两边同乘以0.5×0.2进行去分母变形,更有思维跳跃的同学认为0.5×0.2=1,两边同乘以1,将方程变形为：0.2(4x-1.5)-0.5(5x-0.8)=10(1.2-x)
概述：无论什么样的一元一次方程,其解题步骤概括无非就是“移项,合并,未知数系数化1”这几个步骤,从操作步骤上来讲很容易掌握,但由于进行每个步骤时都有些需注意的细节,许多都是我们认识问题的思维瑕点,需反复关注,并落实理解记忆才能保证解方程问题――做的正确率.若仍不够自信,还可以用检验步骤予以辅助,理解方程“解”的概念.
例4.下列方程后面括号内的数,都是该方程的解的是( )
A.4x-1=9
B.
C.x2+2=3x (-1,2)
D.(x-2)(x+5)=0 (2,-5)
分析：依据方程解的概念,解就是代入方程能使等式成立的值,分别将括号内的数代入方程两边,求方程两边代数式的值,只有选项D中的方程式成立,故选D.
评述：依据方程解的概念,解完方程后,若能有将解代入方程检验的习惯将有助于促使发现易错点,提高解题的正确率.
例5.根据以下两个方程解的情况讨论关于x的方程ax=b(其中a、b为常数)解的情况.
(1)3x+1=3(x-1)
(2)
解:
(1)3x+1=3(x-1)
3x-3x=-3-1
0·x=-4
显然,无论x取何值,均不能使等式成立,所以方程3x+1=3(x-1)无解.
(2)
0·x=0
显然,无论x取何值,均可使方程成立,所以该方程的解为任意数.
由(1)(2)可归纳：
对于方程ax=b
当a≠0时,它的解是 ；
当a=0时,又分两种情况：
①当b=0时,方程有无数个解,任意数均为方程的解；
②当b≠0时,方程无解.