作业帮请问这个排列组合的求和怎么证?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 15:27:16
请问这个排列组合的求和怎么证?
括号的意思就是组合
比如第一项就是从n项中选择0项的选法 左边最后一项表示从n项中选n项的选法 高中用的符号我记得是C 排列用的是A
括号的意思就是组合
比如第一项就是从n项中选择0项的选法 左边最后一项表示从n项中选n项的选法 高中用的符号我记得是C 排列用的是A
假设有两堆不同编号球,第一堆有n个蓝球,编号为1--n,第二堆为m个足球,编号为1--m,
现在要从这两堆球中取出 r 个球,这样考虑：如取篮球为 k 个,则取足球为 （r-k）个,
显然,k 可以等于 1 到 r.另一方面,取 k 个篮球,取（r-k）足球的所有可能的取法有：
【注：这里用 C(n,k) 表示从 n 个中取 k 个】
C(n,k)* C(m,r-k) ,令k=0,1,...r,得到所有可能的 r + 1 种取法：
C(n,0)* C(m,r) + C(n,1)* C(m,r-1) + C(n,2)* C(m,r-2) + .+ C(n,r)* C(m,0)
现在,我们把两堆球混合在一起,从中取出 r 个 球,显然有 C( n+m,r) 种取法,由此得到：
C(n,0)* C(m,r) + C(n,1)* C(m,r-1) + C(n,2)* C(m,r-2) + ...+ C(n,r)* C(m,0) = C( n+m,r) ,
在上式中令 r=m=n,同时考虑到有 C(n,k) = C(n,n-k),即可得到所需正明的公式.
现在要从这两堆球中取出 r 个球,这样考虑：如取篮球为 k 个,则取足球为 （r-k）个,
显然,k 可以等于 1 到 r.另一方面,取 k 个篮球,取（r-k）足球的所有可能的取法有：
【注：这里用 C(n,k) 表示从 n 个中取 k 个】
C(n,k)* C(m,r-k) ,令k=0,1,...r,得到所有可能的 r + 1 种取法：
C(n,0)* C(m,r) + C(n,1)* C(m,r-1) + C(n,2)* C(m,r-2) + .+ C(n,r)* C(m,0)
现在,我们把两堆球混合在一起,从中取出 r 个 球,显然有 C( n+m,r) 种取法,由此得到：
C(n,0)* C(m,r) + C(n,1)* C(m,r-1) + C(n,2)* C(m,r-2) + ...+ C(n,r)* C(m,0) = C( n+m,r) ,
在上式中令 r=m=n,同时考虑到有 C(n,k) = C(n,n-k),即可得到所需正明的公式.