是否对于任意一正整数n,都可以表示为a^2+b^2+c^2+d^2的形式；如果是请证明；如果不是请举一反例,说明理由

是否对于任意一正整数n,都可以表示为a^2+b^2+c^2+d^2的形式；如果是请证明；如果不是请举一反例,说明理由

a,b,c,d如果是任意数,当然可以了
如果必须也是整数,那肯定不行
至少n=1时,就不可能.
再问： 谁说n=1时，就不可能，a=1,c=0,b=0,d=0时就行
再答： 任意一个正整数都在两个完全平方数之间 设n在m^2和(m+1)^2之间，且m足够大，即任意一个N>0，都有m>N 则m^2和(m+1)^2之间，有2m+1个非完全平方数，因为m足够大，所以2m+1同样足够大，使2m+1比任意大正整数N都要大得多 那么n就等于m^2加上一个比任意大的正整数，还要大得多的正整数N‘ 而且N'不是完全平方数，因为N‘一定在上面2m+1个非完全平方数之中 为了使得整可能的把n表示为a^2+b^2+c^2+d^2的形式，应该使第一个完全平方数尽量大，所以取 n=m^2+N' 问题马上转换成任意一个正整数n，都可以表示为a^2+b^2+c^2的形式(少了一个完全平方数） 同理，可以把问题转换成任意一个正整数，都可以表示为a^2+b^2的形式（变成两个平方数的和） 这与第一步的假设是完全矛盾的 所以，可以证明，当n足够大，大到任取一个正整数N，n都要比N大得多的时候，它就不能表示成为a^2+b^2+c^2+d^2的形式 因为它太大了，所以你要求举反例，是不可能的，它可能是 3216546553413214634657465435413465746574513213676574351346573541324376574343763743435763432746243243543.41376354321374324132435425463453413257634134657435413746743543465434134637435413.4657435413457... 这个证明过程很抽象，但能说明问题！希望你能看得懂！
再问： 这个问题我也想过，但是随着完全平方数的增多，它们的组合也越来越多，d不一定要取m,它可以是m-1,m-2等等，下面举一例子，812=729+81+1+1，但却不能表示为812=784+a^2+b^2+c^2，a^2+b^2+c^2=28，这样的组合会成倍增加，所以我主观认为此猜想是正确的，希望您再思考一下.
再答： 如果取m-1,或m-2 那么在(m+1)^2和(m-1)^2之间，有4m-1个非完全平方数，在(m+1)^2和(m-2)^2之间有6m-5个非完全平方数 随着第一个平方数取得越小，它第一个和n向正方向最接近的完全平方数(m+1)^2之间，非完全平方数的个数会越来越多 而完全平方数却只是逐个增加， 而我上面说到的n=a^2+N'中的N‘（至少N’有可能是非完全平方数），这个N‘会越来越大 问题仍会回到必须任一个N‘能表示为a^2+b^2+c^2(减少一个完全平方数)的形式，原命题才成立 同理，仍要出现必须任一个N‘’能表示为a^2+b^2才能使原命题成立 所以，结论仍然是一样的。
再问： 我说的不是特指m-1,m-2,我只是说当d=m,d=m-1,d=m-2等等的时候，会出现无数个N'，在这众多的N'中，总有n个N'是a^2+b^2+c^2，我刚刚说的那个例子就证明了这一点。
再答： 你说得没错，但是看来很难证明。有时间再想想。