在斜三棱柱ABC-A′B′C′中,底面△ABC为正三角形,设AA′:AC=λ.顶点A′在底面ABC上的射影O是△ABC的
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/02 23:32:43
在斜三棱柱ABC-A′B′C′中,底面△ABC为正三角形,设AA′:AC=λ.顶点A′在底面ABC上的射影O是△ABC的中心,P为侧棱CC′中点,G为△PA′B′的重心.
(Ⅰ)求证:OG∥平面AA′B′B;
(Ⅱ)当λ=
(Ⅰ)求证:OG∥平面AA′B′B;
(Ⅱ)当λ=
2 |
(Ⅰ)证明:分别取AB,A′B′的中点D,D′,连CD,PD′,
∵O为△ABC的中心,G为△PA′B′的重心,
∴O∈CD,G∈PD′,且CO:OD=PG:GD′=2:1.
∵AA′B′B为□,AD=DB,A′D′=D′B′,∴DD′∥AA′,
又∵AA′∥CC′,∴DD′∥CC′,即DD′∥CP.
又CO:OD=PG:GD′=2:1,∴OG∥DD′,
∵OG∉平面AA′B′B,DD′⊂平面AA′B′B.
∴OG∥平面AA′B′B.
(Ⅱ)证明当λ=
2时,不妨设AA′=2
2,AC=2,由点A′在平面ABC上的射影为△ABC的中心,连AO并延长交BC于点E,则E为BC的中点,取B′C′的中点E′,连EE′,AA′∥EE′∥CC′.∵A′O⊥平面ABC,∴A′O⊥BC.∵O为△ABC中心,∴AE⊥BC.∴BC⊥平面AA′E′E.设PB′∩EE′=Q,∴BC⊥A′Q,且E′Q=
1
2CP=
1
4AA′=
2
2.∵AO=
3
2AC⋅
2
3=
2
3
3.AA′=2
2,∴cos∠A′AO=
∵O为△ABC的中心,G为△PA′B′的重心,
∴O∈CD,G∈PD′,且CO:OD=PG:GD′=2:1.
∵AA′B′B为□,AD=DB,A′D′=D′B′,∴DD′∥AA′,
又∵AA′∥CC′,∴DD′∥CC′,即DD′∥CP.
又CO:OD=PG:GD′=2:1,∴OG∥DD′,
∵OG∉平面AA′B′B,DD′⊂平面AA′B′B.
∴OG∥平面AA′B′B.
(Ⅱ)证明当λ=
2时,不妨设AA′=2
2,AC=2,由点A′在平面ABC上的射影为△ABC的中心,连AO并延长交BC于点E,则E为BC的中点,取B′C′的中点E′,连EE′,AA′∥EE′∥CC′.∵A′O⊥平面ABC,∴A′O⊥BC.∵O为△ABC中心,∴AE⊥BC.∴BC⊥平面AA′E′E.设PB′∩EE′=Q,∴BC⊥A′Q,且E′Q=
1
2CP=
1
4AA′=
2
2.∵AO=
3
2AC⋅
2
3=
2
3
3.AA′=2
2,∴cos∠A′AO=
在直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC-A’B’C’中,底面ABC为正三角形,且AB=AA’=1,
三棱柱ABC-A1B1C1中,顶点A1在底面ABC的射影O为AC的中点,.
已知三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱与底面边长都相等,A'在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB’与底面ABC所成
已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AC=a,∠BAC=90°,顶点A1在底面ABC上的射影M为BC的中点,且点M
三棱锥P-ABC中,顶点P在底面ABC上的射影为O. (A)重心 (B)外心 (C)内心 (D) 垂心
关于棱柱的性质.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=√2a,BC=CA=A1=a,A1在底面ABC上的射影O在AC上,
三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=AB=AC=a,∠BAC=90°,顶点A1在底面ABC上的射影为BC的中点M
在三棱柱ABC-A′B′C′中,已知AA′⊥平面ABC,AB=AC=AA′=2,BC=23
已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC的射影为△ABC的中心.设设侧棱长为a,怎么
(2009•朝阳区一模)如图,直三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱AA′=4,底面三角形ABC中,AC=BC=2,∠ACB
已知三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱与底面长都相等,A’在底面ABC内的射影为三角形ABC的中心,则AB’与底面ABC所
在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=3,AB=5,AA'=BC=4