(2014•广安)如图,AB为⊙O的直径,以AB为直角边作Rt△ABC,∠CAB=90°,斜边BC与⊙O交于点D,过点D
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 11:52:46
(2014•广安)如图,AB为⊙O的直径,以AB为直角边作Rt△ABC,∠CAB=90°,斜边BC与⊙O交于点D,过点D作⊙O的切线DE交AC于点E,DG⊥AB于点F,交⊙O于点G.
(1)求证:E是AC的中点;
(2)若AE=3,cos∠ACB=
(1)求证:E是AC的中点;
(2)若AE=3,cos∠ACB=
2 |
3 |
(1)证明:连AD,如图
∵AB为⊙O的直径,∠CAB=90°,
∴AC是⊙O的切线,
又∵DE与⊙O相切,
∴ED=EA,
∴∠EAD=∠EDA,
而∠C=90°-∠EAD,∠CDE=90°-∠EDA,
∴∠C=∠CDE,
∴ED=EC,
∴EA=EC,
即E为AC的中点;
(2)由(1)知,E为AC的中点,则AC=2AE=6.
∵cos∠ACB=
2
3,∴sin∠ACB=
1−(
2
3)2=
5
3.
连接AD,则∠ADC=90°,
∴∠ACB+∠CAD=90°,
∵∠CAD+∠DAF=90°,
∴∠DAF=∠ACB,
在Rt△ACD中,AD=AC•sin∠ACB=6×
5
3=2
5.
在Rt△ADF中,DF=AD•sin∠DAF=AD•sin∠ACB=2
5×
5
3=
10
3,
∴DG=2DF=
20
3.
∵AB为⊙O的直径,∠CAB=90°,
∴AC是⊙O的切线,
又∵DE与⊙O相切,
∴ED=EA,
∴∠EAD=∠EDA,
而∠C=90°-∠EAD,∠CDE=90°-∠EDA,
∴∠C=∠CDE,
∴ED=EC,
∴EA=EC,
即E为AC的中点;
(2)由(1)知,E为AC的中点,则AC=2AE=6.
∵cos∠ACB=
2
3,∴sin∠ACB=
1−(
2
3)2=
5
3.
连接AD,则∠ADC=90°,
∴∠ACB+∠CAD=90°,
∵∠CAD+∠DAF=90°,
∴∠DAF=∠ACB,
在Rt△ACD中,AD=AC•sin∠ACB=6×
5
3=2
5.
在Rt△ADF中,DF=AD•sin∠DAF=AD•sin∠ACB=2
5×
5
3=
10
3,
∴DG=2DF=
20
3.
如图,AB为⊙O的直径,以AB为直角边作Rt△ABC,∠CAB=90°,斜边BC与⊙O交于点D,过点D作⊙O的切
如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC边于点D,过点D的切线交BC边于点E.
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以RT三角形ABC的直角边AB为直径作圆O,与斜边AC交于点D,E为BC上中点,连接DE