作业帮怎么用排序不等式来解这题呢?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/17 06:55:22
怎么用排序不等式来解这题呢?
由a,b,c > 0,可知abc > 0,
于是1/a,1/b,1/c与bc = (abc)/a,ca = (abc)/b,ab = (abc)/c同序.
根据排序不等式,bc/a+ca/b+ab/c作为同序和,
不小于乱序和bc/c+ca/a+ab/b = a+b+c.
再问： 我刚接触这个知识还不清楚，你可以再补充一些吗？
再答： 你是对这个证明有疑问吗?
可以将证明改写一下:
由不等式的对称性, 不妨设a ≥ b ≥ c > 0.
于是1/a ≤ 1/b ≤ 1/c.
而abc > 0, 故(abc)/a ≤ (abc)/b ≤ (abc)/c,
也即bc ≤ ca ≤ ab.
对于序列1/a ≤ 1/b ≤ 1/c与bc ≤ ca ≤ ab使用排序不等式,
有1/a·(bc)+1/b·(ca)+1/c·(ab) ≥ 1/c·(bc)+1/a·(ca)+1/b·(ab),
即bc/a+ca/b+ab/c ≥ a+b+c.
这里对a, b, c事先排了序,
由此说明了1/a, 1/b, 1/c与bc, ca, ab同序.
熟练以后, 即便不排序也可以简单看出二者是同序的,
所以写成之前那个证明.
再问： 抱歉，我还是有点不清楚：有1/a·(bc)+1/b·(ca)+1/c·(ab) ≥ 1/c·(bc)+1/a·(ca)+1/b·(ab),这一步又是怎么得到的呢？
再答： 你所了解的排序不等式是怎么叙述的?
完整的排序不等式是对n元叙述的,
概括为同序和 ≥ 乱序和 ≥ 反序和.
这里用的是n = 3时同序和 ≥ 乱序和的结论:
设x1 ≤ x2 ≤ x3, y1 ≤ y2 ≤ y3,
则x1·y1+x2·y2+x3·y3 ≥ x3·y1+x1·y2+x2·y3.
其中左端是同序和, 而右端是乱序和之一.
取x1 = 1/a, x2 = 1/b, x3 = 1/c,
y1 = bc, y2 = ca, y3 = ab,
则满足不等式前提, 代入即得:
1/a·(bc)+1/b·(ca)+1/c·(ab) ≥ 1/c·(bc)+1/a·(ca)+1/b·(ab).
------------------------------------------------
查了一下百度百科,
也许你学的是下面这个特例?
x²+y²+z² ≥ xy+yz+zx.
用这个也能证明本题:
取x = ab, y = bc, z = ca,
得(ab)²+(bc)²+(ca)² ≥ (ab)(bc)+(bc)(ca)+(ca)(ab),
即(ab)²+(bc)²+(ca)² ≥ abc(a+b+c).
由abc > 0, 两边除以abc即得:
bc/a+ca/b+ab/c ≥ a+b+c.
不难看出, 这个特例对应于事实:
序列x, y, z总是与x, y, z同序的.
因此xx+yy+zz ≥ xy+yz+zx.
算是真正的排序不等式的推论.
个人感觉, 把排序不等式特殊化成这个样子不如不讲.
或者至少不要冠以排序不等式的名字.
于是1/a,1/b,1/c与bc = (abc)/a,ca = (abc)/b,ab = (abc)/c同序.
根据排序不等式,bc/a+ca/b+ab/c作为同序和,
不小于乱序和bc/c+ca/a+ab/b = a+b+c.
再问： 我刚接触这个知识还不清楚，你可以再补充一些吗？
再答： 你是对这个证明有疑问吗?
可以将证明改写一下:
由不等式的对称性, 不妨设a ≥ b ≥ c > 0.
于是1/a ≤ 1/b ≤ 1/c.
而abc > 0, 故(abc)/a ≤ (abc)/b ≤ (abc)/c,
也即bc ≤ ca ≤ ab.
对于序列1/a ≤ 1/b ≤ 1/c与bc ≤ ca ≤ ab使用排序不等式,
有1/a·(bc)+1/b·(ca)+1/c·(ab) ≥ 1/c·(bc)+1/a·(ca)+1/b·(ab),
即bc/a+ca/b+ab/c ≥ a+b+c.
这里对a, b, c事先排了序,
由此说明了1/a, 1/b, 1/c与bc, ca, ab同序.
熟练以后, 即便不排序也可以简单看出二者是同序的,
所以写成之前那个证明.
再问： 抱歉，我还是有点不清楚：有1/a·(bc)+1/b·(ca)+1/c·(ab) ≥ 1/c·(bc)+1/a·(ca)+1/b·(ab),这一步又是怎么得到的呢？
再答： 你所了解的排序不等式是怎么叙述的?
完整的排序不等式是对n元叙述的,
概括为同序和 ≥ 乱序和 ≥ 反序和.
这里用的是n = 3时同序和 ≥ 乱序和的结论:
设x1 ≤ x2 ≤ x3, y1 ≤ y2 ≤ y3,
则x1·y1+x2·y2+x3·y3 ≥ x3·y1+x1·y2+x2·y3.
其中左端是同序和, 而右端是乱序和之一.
取x1 = 1/a, x2 = 1/b, x3 = 1/c,
y1 = bc, y2 = ca, y3 = ab,
则满足不等式前提, 代入即得:
1/a·(bc)+1/b·(ca)+1/c·(ab) ≥ 1/c·(bc)+1/a·(ca)+1/b·(ab).
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查了一下百度百科,
也许你学的是下面这个特例?
x²+y²+z² ≥ xy+yz+zx.
用这个也能证明本题:
取x = ab, y = bc, z = ca,
得(ab)²+(bc)²+(ca)² ≥ (ab)(bc)+(bc)(ca)+(ca)(ab),
即(ab)²+(bc)²+(ca)² ≥ abc(a+b+c).
由abc > 0, 两边除以abc即得:
bc/a+ca/b+ab/c ≥ a+b+c.
不难看出, 这个特例对应于事实:
序列x, y, z总是与x, y, z同序的.
因此xx+yy+zz ≥ xy+yz+zx.
算是真正的排序不等式的推论.
个人感觉, 把排序不等式特殊化成这个样子不如不讲.
或者至少不要冠以排序不等式的名字.