已知数{an}的前n项和为Sn,且满Sn=2an-n(n=1,2,3_)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/13 20:48:09
已知数{an}的前n项和为Sn,且满Sn=2an-n(n=1,2,3_)
(1)a1,a2,a3的值;
(2)求证:数列{an+1}是等比数列;
(3)bn=nan,求数{bn}的前n项Tn.
(1)a1,a2,a3的值;
(2)求证:数列{an+1}是等比数列;
(3)bn=nan,求数{bn}的前n项Tn.
(1)因为Sn=2an-n,令n=1,解得a1=1,
分别再令n=2,n=3,可解得a2=3,a3=7;
(2)因为n>1,n∈N),
两式相减可得an=2an-1+1,即an+1=2(an-1+1),
又a1+1=2,所以{an+1}构成首项为2,公比为2的等比数列;
(3)因为{an+1}构成首项为2,公比为2的等比数列,
所以an+1=2n,所以an=2n-1,
因为bn=nan,所以bn=n•2n-n,
所以Tn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n-(1+2+3+…+n),
令Hn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n (1)
则2Hn=1•22+2•23+3•24+…+(n-1)•2n+n•2n+1 (2)
(1)-(2)得:-Hn=21+22+23+…+2n-n•2n+1
=
2(1−2n)
1−2−n•2n+1=(1-n)•2n+1-2,故Hn=2+(n-1)•2n+1,
所以Tn=2+(n-1)•2n+1-
n(n+1)
2
分别再令n=2,n=3,可解得a2=3,a3=7;
(2)因为n>1,n∈N),
两式相减可得an=2an-1+1,即an+1=2(an-1+1),
又a1+1=2,所以{an+1}构成首项为2,公比为2的等比数列;
(3)因为{an+1}构成首项为2,公比为2的等比数列,
所以an+1=2n,所以an=2n-1,
因为bn=nan,所以bn=n•2n-n,
所以Tn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n-(1+2+3+…+n),
令Hn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n (1)
则2Hn=1•22+2•23+3•24+…+(n-1)•2n+n•2n+1 (2)
(1)-(2)得:-Hn=21+22+23+…+2n-n•2n+1
=
2(1−2n)
1−2−n•2n+1=(1-n)•2n+1-2,故Hn=2+(n-1)•2n+1,
所以Tn=2+(n-1)•2n+1-
n(n+1)
2
已知数列{an}的首项是a1=1,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+3n+1(n∈N*).
数列{an}前n项和为Sn,且2Sn+1=3an,求an及Sn
已知数列{an}的首项a1=3,前n项和为Sn,且S(n+1)=3Sn+2n(n∈N)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且(2n-1)Sn+1 -(2n+1)Sn=4n²-1(n∈N*)
已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).
已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*)
设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2^n-1.
已知数列An的前n项和为Sn.且2Sn=3an-1,n属于n*求an通项公式
已知数列{an}前n项和为Sn,且Sn=-2an+3
已知数列an的前n项和为sn,且满足sn=n²an-n²(n-1),a1=1/2
设数列{an}的前n项和为Sn,且2an=Sn+2n+1(n∈N*).
已知数列{an}a1=2前n项和为Sn 且满足Sn Sn-1=3an 求数列{an}的通项公式an