求证:连接三角形内切圆切点的三角形的面积与原三角形面积之比等于原三角形内切圆半径与外接圆直径之比

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 11:10:19

已知：标记外△ABC,△ABC外接圆直径为D.△ABC内接圆圆心为O,半径为r.圆O与AB、BC、AC的切点分别为D、E、F.
连接OD、OE、OF、DE、EF、FD,则△DEF为圆O内接三角形.△ABC面积为S1,△DEF面积为S2,AB长度为c,BC长度为a,AC长度为b.
求证：S2/S1=r/D
证明：
(1)
S1=S△AOB+S△BOC+S△COA=cr/2+ar/2+br/2=r(a+b+c)/2
(2)
在四边形ADOF中,∠ADO=∠AFO=90°,故∠DOF=360°-∠ADO-∠AFO-∠A=180°-∠A
所以sin∠DOF=sin(180°-∠A)=sin∠A
同理,sin∠DOE=sin∠B,sin∠EOF=sin∠C
(3)
S2=S△DOE+S△EOF+S△FOD=1/2*r*r*sin∠DOE+1/2*r*r*sin∠EOF+1/2*r*r*sin∠DOF
将第(2)步结果代入,得S2=1/2*r*r*(sin∠A+sin∠B+sin∠C)
(4)
由正弦定理,得a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C=D
代入第(3)步中,得S2=1/2*r*r*(a/D+b/D+c/D)=1/2*r*r*(a+b+c)/D
将(4)式两边同除以(1)式两边,得S2/S1=[1/2*r*r*(a+b+c)/D]/[r(a+b+c)/2]=r/D

三角形ABC三个顶点将其外接圆分成三段弧弧长之比为1：2：3,求三角形ABC的外接圆半径R与内切圆半径r之比. 三角形面积与内切圆半径的关系三角形外接圆、外接圆、内接圆、内切圆的周长与面积公式设正三角形的外接圆半径与内切圆半径之差为2厘米,求这三角形的面积数学问题“三边分别为3,4,5的三角形的内切圆半径与外接圆半径之比是” 若一直角三角形的斜边长为c,内切圆半径为r,则内切圆的面积与三角形面积之比是两个相似三角形内切圆直径比、周长比、面积比与相似比的关系是什么? 等腰三角形的内切圆与外接圆的面积之比为若三角形的三边之比为3：4：5,则它的内切圆与外接圆的半径之比为多少求三角形的三条中位线所围成的三角形与与原三角形的面积之比三角形的面积等于内切圆的半径与三角形的周长的积的一半? 三角形内切圆半径与外接圆半径