作业帮一道圆锥曲线的中点弦问题.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/18 05:41:19
一道圆锥曲线的中点弦问题.
已知 在一四像限为：x方/a方 +y方/b方=1 (右半椭圆,焦点(c,0) 在x正半轴上) 在二三像限为：x方/b方+y方/c方=1（左半椭圆,二个焦点在y轴上）
其中 a方=b方+c方
已知一系列斜率为k的平行弦,与上述闭合曲线的交点为A,B (只讨论A,B在y轴异侧就行了,两点在同侧时不符合条件) ,弦AB的中点为p,问题否存在某一k,使p的轨迹是某一椭圆上的一段,若存在求k的值.
a,b,c均作为已知量。
在二三像限的解析式为：y方/b方+x方/c方=1 上面打错了。 a>b>c
已知 在一四像限为：x方/a方 +y方/b方=1 (右半椭圆,焦点(c,0) 在x正半轴上) 在二三像限为：x方/b方+y方/c方=1（左半椭圆,二个焦点在y轴上）
其中 a方=b方+c方
已知一系列斜率为k的平行弦,与上述闭合曲线的交点为A,B (只讨论A,B在y轴异侧就行了,两点在同侧时不符合条件) ,弦AB的中点为p,问题否存在某一k,使p的轨迹是某一椭圆上的一段,若存在求k的值.
a,b,c均作为已知量。
在二三像限的解析式为：y方/b方+x方/c方=1 上面打错了。 a>b>c
这个问题应该是你自己想出来的吧.从给出的图看,就已经假定左边部分的椭圆的焦点在y轴上,但根据已知条件,这不一定能够办到.除非附加一个条件,a^2<2*b^2,否则有可能c^2>b^2,左边椭圆的焦点也会在x轴上.
这样看来,这是一个探索性问题,事先谁也不知道答案.
我算了一下,P点的坐标非常复杂,
如果设直线方程为y=k*x+s,
要让椭圆与直线按照指定的方式相交,需要限制 -b≤s≤b.
那么,解出来的P点横纵坐标分别为：
x0=(1/2)*(-a^2*k*s+sqrt(a^2*b^2*(a^2*k^2-s^2+b^2)))/(a^2*k^2+b^2)-(1/2)*(c^2*k*s+sqrt(c^2*b^2*(c^2*k^2+b^2-s^2)))/(c^2*k^2+b^2),
y0=(1/2)*(-a^2*k*s+sqrt(a^2*b^2*(a^2*k^2-s^2+b^2)))*k/(a^2*k^2+b^2)+s-(1/2)*(c^2*k*s+sqrt(c^2*b^2*(c^2*k^2+b^2-s^2)))*k/(c^2*k^2+b^2),
很难看出两者间的关系,也难以消去参数s（理论上,可以从第一个方程得出s关于x的表达式——用x表示s,用计算机算出来是一个四次方程的根,而四次方程是有初等的求根公式的——虽然很复杂,再把s的表达式代入y,原则上是可以得出关系式的,但是实际操作很困难）.
当a=5, b=4, (c=3),k=3时,画出椭圆的曲线和P点的轨迹,如图所示,倒像是一条曲线,但不能确定是否二次曲线.
当a=5, b=4, (c=3),k=1/2时,画出P点的轨迹,见第三个图.
由于s的范围限制,即便P点的轨迹在一个椭圆上,也只能见到局部,看不到整体,无法通过图像来判断.但是,显然这不可能是一个中心在原点的椭圆.如果是平移了的椭圆,也还容易通过数值方法求出来.如果不是正规放置的椭圆,是倾斜了一个角度放置的椭圆的话,其方程就非常复杂（学过坐标旋转就知道）,如果是旋转加平移,就非常难把握.
即便能够证明在某个k值下,P点的轨迹不是形如x^2/a^2+y^2/b^2=1这样标准形式的椭圆,也难以否定它可能是旋转、平移后的椭圆.
所以,你的这个问题,恐怕很难得到预期的结果.
从P点坐标看,我个人倾向于认为这不是在椭圆上.除了k=0时,可以很容易判断P点的轨迹是椭圆的一部分,k=∞时（截线垂直于x轴）P点轨迹在直线上,其它情况下,从s是某个四次方程的根看,代入一个二次根式与一次式的和的代数式,不太可能是二次曲线.
这样看来,这是一个探索性问题,事先谁也不知道答案.
我算了一下,P点的坐标非常复杂,
如果设直线方程为y=k*x+s,
要让椭圆与直线按照指定的方式相交,需要限制 -b≤s≤b.
那么,解出来的P点横纵坐标分别为：
x0=(1/2)*(-a^2*k*s+sqrt(a^2*b^2*(a^2*k^2-s^2+b^2)))/(a^2*k^2+b^2)-(1/2)*(c^2*k*s+sqrt(c^2*b^2*(c^2*k^2+b^2-s^2)))/(c^2*k^2+b^2),
y0=(1/2)*(-a^2*k*s+sqrt(a^2*b^2*(a^2*k^2-s^2+b^2)))*k/(a^2*k^2+b^2)+s-(1/2)*(c^2*k*s+sqrt(c^2*b^2*(c^2*k^2+b^2-s^2)))*k/(c^2*k^2+b^2),
很难看出两者间的关系,也难以消去参数s（理论上,可以从第一个方程得出s关于x的表达式——用x表示s,用计算机算出来是一个四次方程的根,而四次方程是有初等的求根公式的——虽然很复杂,再把s的表达式代入y,原则上是可以得出关系式的,但是实际操作很困难）.
当a=5, b=4, (c=3),k=3时,画出椭圆的曲线和P点的轨迹,如图所示,倒像是一条曲线,但不能确定是否二次曲线.
当a=5, b=4, (c=3),k=1/2时,画出P点的轨迹,见第三个图.
由于s的范围限制,即便P点的轨迹在一个椭圆上,也只能见到局部,看不到整体,无法通过图像来判断.但是,显然这不可能是一个中心在原点的椭圆.如果是平移了的椭圆,也还容易通过数值方法求出来.如果不是正规放置的椭圆,是倾斜了一个角度放置的椭圆的话,其方程就非常复杂（学过坐标旋转就知道）,如果是旋转加平移,就非常难把握.
即便能够证明在某个k值下,P点的轨迹不是形如x^2/a^2+y^2/b^2=1这样标准形式的椭圆,也难以否定它可能是旋转、平移后的椭圆.
所以,你的这个问题,恐怕很难得到预期的结果.
从P点坐标看,我个人倾向于认为这不是在椭圆上.除了k=0时,可以很容易判断P点的轨迹是椭圆的一部分,k=∞时（截线垂直于x轴）P点轨迹在直线上,其它情况下,从s是某个四次方程的根看,代入一个二次根式与一次式的和的代数式,不太可能是二次曲线.