作业帮微积分求极限问题,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/15 02:36:30
微积分求极限问题,
lncosx=ln(1+1-cosx)
x趋于0时,就等价于1-cosx,再等价于0.5x²
4^x-1等价于x *ln4
而
lim(x趋于0) [1+f(x)/(4^x-1)]^ (4^x-1)/f(x)=e
所以
lim(x趋于0) [1+f(x)/(4^x-1)]^ 1/lncosx
=lim(x趋于0) [1+f(x)/(4^x-1)]^ 2/x²
=lim(x趋于0) [1+f(x)/(4^x-1)]^ [(4^x-1)/f(x) *f(x)/(4^x-1)* 2/x²]
=lim(x趋于0) e^ [2f(x)/ (4^x-1)*1/x²] =2
于是
lim(x趋于0) 2f(x)/(4^x-1) *1/x² =ln2
即lim(x趋于0) 2f(x)/(x*ln4) *1/x² =ln2
所以得到
lim(x趋于0) f(x)/x^3=ln2 *ln4 /2=(ln2)²
选择答案A
再问： 额 。。您的计算过程好像有点错误，“lncosx=ln(1+1-cosx)，x趋于0时，就等价于1-cosx，再等价于0.5x²”，公式记错了吧⊙﹏⊙，不过还是谢谢你啦
再答： 确实随手写错了，不好意思…… lncosx=ln[1-(1-cosx)] x趋于0时，就等价于-1+cosx，再等价于-0.5x² 那就正好差了个负号， 最后应该就是 -(ln2)² 选择答案D
x趋于0时,就等价于1-cosx,再等价于0.5x²
4^x-1等价于x *ln4
而
lim(x趋于0) [1+f(x)/(4^x-1)]^ (4^x-1)/f(x)=e
所以
lim(x趋于0) [1+f(x)/(4^x-1)]^ 1/lncosx
=lim(x趋于0) [1+f(x)/(4^x-1)]^ 2/x²
=lim(x趋于0) [1+f(x)/(4^x-1)]^ [(4^x-1)/f(x) *f(x)/(4^x-1)* 2/x²]
=lim(x趋于0) e^ [2f(x)/ (4^x-1)*1/x²] =2
于是
lim(x趋于0) 2f(x)/(4^x-1) *1/x² =ln2
即lim(x趋于0) 2f(x)/(x*ln4) *1/x² =ln2
所以得到
lim(x趋于0) f(x)/x^3=ln2 *ln4 /2=(ln2)²
选择答案A
再问： 额 。。您的计算过程好像有点错误，“lncosx=ln(1+1-cosx)，x趋于0时，就等价于1-cosx，再等价于0.5x²”，公式记错了吧⊙﹏⊙，不过还是谢谢你啦
再答： 确实随手写错了，不好意思…… lncosx=ln[1-(1-cosx)] x趋于0时，就等价于-1+cosx，再等价于-0.5x² 那就正好差了个负号， 最后应该就是 -(ln2)² 选择答案D