在△ABC中,AB=2倍根号5,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/18 17:57:10

在△ABC中,AB=2倍根号5,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,
求线段DC的长.勾股定理解题

∵AC=4,BC=2,AB=2倍根号5,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ACB为直角三角形,∠ACB=90°．
分三种情况：
如图（1）,过点D作DE⊥CB,垂足为点E．
∵DE⊥CB（已知）
∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定义）,
∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形两锐角互余）,
∵△ABD为等腰直角三角形（已知）,
∴AB=BD,∠ABD=90°（等腰直角三角形的定义）,
∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定义）,
∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等）,
在△ACB与△BED中,
∵∠ACB=∠BED,∠CAB=∠EBD,AB=BD（已证）,
∴△ACB≌△BED（AAS）,
∴BE=AC=4,DE=CB=2（全等三角形对应边相等）,
∴CE=6（等量代换）
根据勾股定理得：CD=2倍根号10；

如图（2）,过点D作DE⊥CA,垂足为点E．
∵BC⊥CA（已知）
∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定义）
∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形两锐角互余）
∵△ABD为等腰直角三角形（已知）
∴AB=AD,∠BAD=90°（等腰直角三角形的定义）
∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定义）
∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等）
在△ACB与△DEA中,
∵∠ACB=∠DEA（已证）∠CAB=∠EDA（已证） AB=DA（已证）
∴△ACB≌△DEA（AAS）
∴DE=AC=4,AE=BC=2（全等三角形对应边相等）
∴CE=6（等量代换）
根据勾股定理得：CD=2倍根号13；

如图（3）,过点D作DE⊥CB,垂足为点E,过点A作AF⊥DE,垂足为点F．
∵∠C=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°,
∵∠DAB+∠DBA=90°,
∴∠EBD+∠DAF=90°,
∵∠EBD+∠BDE=90°,∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠DBE=∠ADF,
∵∠BED=∠AFD=90°,DB=AD,
∴△AFD≌△DEB,易求CD=3倍根号2．

再问：不明白为什么∴△AFD≌△DEB，就能求出CD=3倍根号2。详解