作业帮曲线曲面积分题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 14:53:51
曲线曲面积分题
设P=yz(x-x^2)
Q=zx(y-y^2)
R=xy(z-z^2)
所以根据斯托克斯公式
原积分
=∫Pdx+Qdy+Rdz
=
=∫∫∑ [x(z-z^2)-x(y-y^2)]dydz+[y(x-x^2)-y(z-z^2)]dzdx+[z(y-y^2)-z(x-x^2)]dxdy
(因为∑在x+y+z=0上,所以dydz:dzdx:dxdy=1:1:1)
=∫∫∑1 [x(z-z^2)-x(y-y^2)+y(x-x^2)-y(z-z^2)+z(y-y^2)-z(x-x^2)]dxdy
=∫∫∑1 (-xz^2+xy^2-yx^2+yz^2-zy^2+zx^2)dxdy
=∫∫∑1 (3xy^2-3x^2y+2y^3-2x^3)dxdy
=∫∫∑1 f(x,y)dxdy
(∑1为椭圆2x^2+2xy+2y^2=a^2, 他是关于原点对称的积分区域）
设f(x,y)=3xy^2-3x^2y+2y^3-2x^3
因为满足f(-x,-y)=-f(x,y)
所以∫∫f(x,y)dxdy=0
所以
原积分=0
Q=zx(y-y^2)
R=xy(z-z^2)
所以根据斯托克斯公式
原积分
=∫Pdx+Qdy+Rdz
=
=∫∫∑ [x(z-z^2)-x(y-y^2)]dydz+[y(x-x^2)-y(z-z^2)]dzdx+[z(y-y^2)-z(x-x^2)]dxdy
(因为∑在x+y+z=0上,所以dydz:dzdx:dxdy=1:1:1)
=∫∫∑1 [x(z-z^2)-x(y-y^2)+y(x-x^2)-y(z-z^2)+z(y-y^2)-z(x-x^2)]dxdy
=∫∫∑1 (-xz^2+xy^2-yx^2+yz^2-zy^2+zx^2)dxdy
=∫∫∑1 (3xy^2-3x^2y+2y^3-2x^3)dxdy
=∫∫∑1 f(x,y)dxdy
(∑1为椭圆2x^2+2xy+2y^2=a^2, 他是关于原点对称的积分区域）
设f(x,y)=3xy^2-3x^2y+2y^3-2x^3
因为满足f(-x,-y)=-f(x,y)
所以∫∫f(x,y)dxdy=0
所以
原积分=0
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