作业帮解析几何与向量的结合，求常规解法
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/02 18:13:49
解题思路： （Ⅰ）由已知条件推导出c=1，由此能求出椭圆方程． （Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（-1，0），F2（1，0），设直线方程为y=k（x+1） 由此利用根与系数的关系结合题设条件能求出直线l的方程．
解题过程：
解：（Ⅰ）由题意知，椭圆的半焦距c=1，
∵过点P（
）的圆O：x2+y2=a2的两条切线互相垂直，
∴四边形OAPB为正方形，
∴
，∴a=
，
由
，知b2=1，
∴椭圆方程为
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（-1，0），F2（1，0），
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，
将x=-1代入椭圆方程得y=
．
设M（-1，
），N（-1，-
），
∴
=（-2，
），N（-1，-
），
∴
=（-2，
）+（-2，-
）=（-4，0），
∴|
|=4，与题设矛盾，
∴直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，则直线方程为y=k（x+1），
设
，
联立
，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，
由根与系数的关系知
，
从而
，
又∵
，
，
∴
=（x1+x2-2）2+（y1+y2）2
=（
）2+（
）2
=
，
∴
=（
）2，
化简，得40k4-23k2-17=0，
解得k2=1，或
，
∴k=±1，
∴直线l的方程为y=x+1或y=-x-1．
解题过程：
解：（Ⅰ）由题意知，椭圆的半焦距c=1，
∵过点P（
）的圆O：x2+y2=a2的两条切线互相垂直，∴四边形OAPB为正方形，
∴
，∴a=，由
，知b2=1，∴椭圆方程为
．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（-1，0），F2（1，0），
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，
将x=-1代入椭圆方程得y=
．设M（-1，
），N（-1，-），∴
=（-2，），N（-1，-），∴
=（-2，）+（-2，-）=（-4，0），∴|
|=4，与题设矛盾，∴直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，则直线方程为y=k（x+1），
设
，联立
，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，由根与系数的关系知
，从而
，又∵
，，∴
=（x1+x2-2）2+（y1+y2）2=（
）2+（）2=
，∴
=（）2，化简，得40k4-23k2-17=0，
解得k2=1，或
，∴k=±1，
∴直线l的方程为y=x+1或y=-x-1．