作业帮lim n[e2-(1+1/n)^2n],当n趋向于无穷
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/14 22:53:00
lim n[e2-(1+1/n)^2n],当n趋向于无穷
答案等于e^2
答案等于e^2
lim(n→∞) n[e^2-(1+1/n)^(2n)]
=lim(n→∞) [e^2-(1+1/n)^(2n)]/(1/n)
注意(1+1/n)^(2n)的导数是2[ln(1+1/n)-1/(n+1)](1+1/n)^(2n)
原式=lim(n→∞) -2【[ln(1+1/n)-1/(n+1)](1+1/n)^(2n)】/(-1/n^2),用洛必达法则
-2[lim(n→∞) (1+1/n)^n]^2*lim(n→∞) [ln(1+1/n)-1/(n+1)]/(-1/n^2)
=-2e^2*lim(n→∞) [1/(n+1)-ln(1+1/n)]/(1/n^2),令t=1/n
=-2e^2*lim(t→0) [t/(1+t)-ln(1+t)]/t^2
=-2e^2*lim(t→0) [1/(1+t)^2-1/(1+t)]/(2t),再用洛必达法则
=-e^2*lim(t→0) 1/t*[1-(1+t)]/(1+t)^2
=-e^2*lim(t→0) -1/(1+t)^2
=e^2*1/(1+0)^2
=e^2
用粗略的方法:
展开(1+1/n)^(2n)=e^2-e^2/n+7e^2/(6n^2)-4e^2/(3n^3)+...
∴lim(n→∞) n[e^2-(1+1/n)^2n]
=lim(n→∞) n【e^2-[e^2-e^2/n+7e^2/(6n^2)-4e^2/(3n^3)+...]】
=lim(n→∞) n【e^2/n-7e^2/(6n^2)+4e^2/(3n^3)+...】
=lim(n→∞) 【e^2-7e^2/(6n)+4e^2/(3n^2)+...】
=e^2
=lim(n→∞) [e^2-(1+1/n)^(2n)]/(1/n)
注意(1+1/n)^(2n)的导数是2[ln(1+1/n)-1/(n+1)](1+1/n)^(2n)
原式=lim(n→∞) -2【[ln(1+1/n)-1/(n+1)](1+1/n)^(2n)】/(-1/n^2),用洛必达法则
-2[lim(n→∞) (1+1/n)^n]^2*lim(n→∞) [ln(1+1/n)-1/(n+1)]/(-1/n^2)
=-2e^2*lim(n→∞) [1/(n+1)-ln(1+1/n)]/(1/n^2),令t=1/n
=-2e^2*lim(t→0) [t/(1+t)-ln(1+t)]/t^2
=-2e^2*lim(t→0) [1/(1+t)^2-1/(1+t)]/(2t),再用洛必达法则
=-e^2*lim(t→0) 1/t*[1-(1+t)]/(1+t)^2
=-e^2*lim(t→0) -1/(1+t)^2
=e^2*1/(1+0)^2
=e^2
用粗略的方法:
展开(1+1/n)^(2n)=e^2-e^2/n+7e^2/(6n^2)-4e^2/(3n^3)+...
∴lim(n→∞) n[e^2-(1+1/n)^2n]
=lim(n→∞) n【e^2-[e^2-e^2/n+7e^2/(6n^2)-4e^2/(3n^3)+...]】
=lim(n→∞) n【e^2/n-7e^2/(6n^2)+4e^2/(3n^3)+...】
=lim(n→∞) 【e^2-7e^2/(6n)+4e^2/(3n^2)+...】
=e^2
求极限:Lim(1+1/n-1/n^2)^n n趋向于正无穷
求极限 n趋向于无穷 lim（(根号下n^2+1)/(n+1)）^n
求极限lim(n趋向于无穷）(n+1)(根号下(n^2+1)-n)
判断极限是否存在lim [n+(-1)^n]/n n趋向于无穷 lim |x|/x x趋向于0
1、lim((4^n-3^（n+1)))除以((2^(2n+1))+3^n) 当n 趋向于无穷 求极限
求当n趋向于无穷时,lim[cos(θ/n)])^n)^n=?
求极限lim n趋向于无穷（1/n）*n次方根下(n+1)(n+2)⋯(n+n)
(n+2)^3/(n+1)^4的极限(当n趋向于无穷)
高数 lim n趋向无穷 lim（3^(1/n)-1)ln(2+2^n)
证明(n趋向于无穷）lim n的根号n次方=1
极限n趋向正无穷,求解定积分,lim（n趋向于无穷）定积分（0到1）x∧n／1+x∧2n
求 证Lim ( n/ n2+1) + (n/ n2+2) +( n/ n2+3).+(n/n2+n)当n趋向无穷时的极