如图,已知正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为2,E、F分别是A 1 B 1 、CC 1 的中点,过
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/02 17:34:11
如图,已知正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为2,E、F分别是A 1 B 1 、CC 1 的中点,过D 1 、E、F作平面D 1 EGF交BB 1 于G, (Ⅰ)求证:EG∥D 1 F; (Ⅱ)求二面角C 1 -D 1 E-F的余弦值; (Ⅲ)求正方体被平面D 1 EGF所截得的几何体ABGEA 1 -DCFD 1 的体积。 |
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(Ⅰ)证明:在正方体 中,
∵平面 ∥平面 ,平面 ∩平面 =EG,
平面 ∩平面 = ,
∴EG∥ 。
(Ⅱ)如图,以D为原点分别以DA、DC、DD 1 为 x、y、z轴,
建立空间直角坐标系,则有D 1 (0,0,2),E(2,1,2),F(0,2,1),
∴ , ,
设平面 的法向量为 ,
则由 和 ,得 ,
取x=1,得y=-2,z=-4,
∴ ,
又平面ABCD的法向量为 (0,0,2),
故
;
∴截面 与底面ABCD所成二面角的余弦值为 ;
(Ⅲ)设所求几何体 的体积为V,
∵ ∽ , ,
∴ , ,
∴ ,
,
故V 棱台 ,
∴V=V 正方体 -V 棱台 。
∵平面 ∥平面 ,平面 ∩平面 =EG,
平面 ∩平面 = ,
∴EG∥ 。
(Ⅱ)如图,以D为原点分别以DA、DC、DD 1 为 x、y、z轴,
建立空间直角坐标系,则有D 1 (0,0,2),E(2,1,2),F(0,2,1),
∴ , ,
设平面 的法向量为 ,
则由 和 ,得 ,
取x=1,得y=-2,z=-4,
∴ ,
又平面ABCD的法向量为 (0,0,2),
故
;
∴截面 与底面ABCD所成二面角的余弦值为 ;
(Ⅲ)设所求几何体 的体积为V,
∵ ∽ , ,
∴ , ,
∴ ,
,
故V 棱台 ,
∴V=V 正方体 -V 棱台 。
如图,在正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,E、F、G分别是CB、CD、CC 1 的中点.
(本大题12分)如图,在棱长为ɑ的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,E、F、G分别是CB、CD、CC
在棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中,设E为CC'中点,(1)求证BD垂直AE
如图,正方体ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC 1 上的动点,过点A,P
已知正方体ABCD-A’B’C’D’中,P、Q、R分别为BC、CD、CC’的中点.(1) 判断直线B’D’与平面PQR的
已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长是4,E、F分别是AB、AD的中点,G为CC'中点,求平
如图,正方体的棱长为1,C、D分别是两条棱的中点,A、B、M是顶点,那么点M到截面ABCD的距离是多少?
已知E,F,G,H分别是正方体ABCD-A'B'C'D的棱BC,CC',C'D'和AA'的中点
已知在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是棱BC,CC'的中点,求EF与A'C'所成角的大小
已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a,E,F分别是AB,CC'的中点,求直线EF与BD'所成的角
如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a,E,F分别是棱AB,BC的中点
如图,已知ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 是棱长为3的正方体,点E在AA 1 上,点F在CC 1 上,且AE=