已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)，的离心率为2，焦点到渐近线的距离为23，点P的坐标为（0，-2）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/06 00:21:23

已知双曲线C：

（1）双曲线C：
x2
a2−
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为（c，0），一条渐近线方程为：bx-ay=0
∵双曲线C：
x2
a2−
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为2
3
∴
c
a＝2，
|bc|

b2+a2＝2
3
∵c²=a²+b²
∴b²=12，a²=4
∴双曲线C的方程为
x2
4−
y2
12＝1…（4分）
（2）点P的坐标为（0，-2），设过P的直线l的方程为y=kx-2，与双曲线方程联立可得

y＝kx−2
3x2−y2＝12消去y可得（3-k²）x²+4kx-16=0…（5分）
（1）3-k²=0，不符合题意，舍去…（6分）
（2）3-k²≠0时，△=16（12-3k²）＞0得k²＜4
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则

x1+x2＝
−4k
3−k2，

x1x2＝
−16
3−k2…（8分）
∴y₁y₂=（kx₁-2）（kx₂-2）=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=
12−12k2
3−k2
∴t=

OM•

ON=x₁x₂+y₁y₂=
−16
3−k2+
12−12k2
3−k2＝
−4−12k2
3−k2=12−
40
3−k2
∵k²＜4，3-k²≠0
∴3-k²＞-1，3-k²≠0
∴
1
3−k2＜−1或
1
3−k2＞ 0
∴12−
40
3−k2＞52或12−
40
3−k2＜ −
4
3
∴t＞52或t＜−
4
3…（12分）

已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）过点P(2，3)，且离心率为2，过右焦点F作两渐近线的垂线，垂足分已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且过P(5，1)，过右焦点F作两渐近线的垂线，垂足为双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为（　　）已知双曲线C：x2a2−y2b2＝I(a＞0，b＞)的离心率为3，右焦点为F，过点M（1，0）且斜率为1的直线与双曲线C 已知双曲线C的方程为x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0），过右焦点F作双曲线在一，三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，若双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为___．若双曲线x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）上横坐标为3a2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为3，实轴长为2；若双曲线x2a2−y2b2＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（　　）若双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则此双曲线的渐近线方程为（已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（4，43），则该双曲线的离心率为（　　）已知双曲线x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，△OAF的面积为32