若两个函数互为反函数,则它们的单调性是否都相同
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/27 22:48:30
若两个函数互为反函数,则它们的单调性是否都相同
单调性相同
再问: 说明理由
再答: 算了,今天心情不好就来做点数学消愁吧 设f为A到B的连续单调函数,且一阶导数不为0 g为f的反函数即g=f^-1,g为B到A的函数 设y=f(x),根据题设,x=g(y) 根据导数的定义g'(y)= lim (g(b)-g(y))/(b-y) (b趋向于y) 且b属于集合B,则在A中存在a,使得f(a)=b 所以g'(y)= lim (g(f(a))-g(f(x)))/(f(a)-f(x)) (a趋向于x) (因为是连续函数,所以有y=f(x)=lim f(a) (a趋向于x) ) (然后根据复合函数极限定理,我们可以把极限中变量由b变成a) 因为g与f为反函数,所以g(f(a))=a 得到g'(y)= lim (a-x)/(f(a)-f(x)) (a趋向于x) 得到g'(y)= lim 1/((f(a)-f(x))/(a-x)) (a趋向于x) 根据定义f'(x)= lim (f(a)-f(x))/(a-x) (a趋向于x) 于是g'(y)=1/f'(x) 根据题设,f为单调函数且一阶导数不为零,由此可见g'(y)有定义,与f'(x)同号 所以g与f单调性相同 整毕
再问: 说明理由
再答: 算了,今天心情不好就来做点数学消愁吧 设f为A到B的连续单调函数,且一阶导数不为0 g为f的反函数即g=f^-1,g为B到A的函数 设y=f(x),根据题设,x=g(y) 根据导数的定义g'(y)= lim (g(b)-g(y))/(b-y) (b趋向于y) 且b属于集合B,则在A中存在a,使得f(a)=b 所以g'(y)= lim (g(f(a))-g(f(x)))/(f(a)-f(x)) (a趋向于x) (因为是连续函数,所以有y=f(x)=lim f(a) (a趋向于x) ) (然后根据复合函数极限定理,我们可以把极限中变量由b变成a) 因为g与f为反函数,所以g(f(a))=a 得到g'(y)= lim (a-x)/(f(a)-f(x)) (a趋向于x) 得到g'(y)= lim 1/((f(a)-f(x))/(a-x)) (a趋向于x) 根据定义f'(x)= lim (f(a)-f(x))/(a-x) (a趋向于x) 于是g'(y)=1/f'(x) 根据题设,f为单调函数且一阶导数不为零,由此可见g'(y)有定义,与f'(x)同号 所以g与f单调性相同 整毕