(2012•闸北区一模)证明下面两个命题:
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/06 02:40:13
(2012•闸北区一模)证明下面两个命题:
(1)在所有周长相等的矩形中,只有正方形的面积最大;
(2)余弦定理:如图,在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则a2=b2+c2-2bccosA.
(1)在所有周长相等的矩形中,只有正方形的面积最大;
(2)余弦定理:如图,在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则a2=b2+c2-2bccosA.
证明一:(1)设长方形的长,宽分别为a,b,由题设a+b为常数(1分)
由基本不等式:
a+b
2≥
ab,可得:ab≤(
a+b
2)2,(4分)
当且仅当a=b时,等号成立,(1分)
即当且仅当长方形为正方形时,面积ab取得最大值(
a+b
2)2. (1分)
证明二:(1)设长方形的周长为l,长为x,则宽为
l−2x
2 (1分)
于是,长方形的面积S=x•
l−2x
2=−(x−
l
4)2+
l2
16,(4分)
所以,当且仅x=
l
4时,面积最大为
l2
16,此时,长方形的
l
4,即为正方形(2分)
(2)证法一:a2=
BC•
BC=(
AC−
AB)(
由基本不等式:
a+b
2≥
ab,可得:ab≤(
a+b
2)2,(4分)
当且仅当a=b时,等号成立,(1分)
即当且仅当长方形为正方形时,面积ab取得最大值(
a+b
2)2. (1分)
证明二:(1)设长方形的周长为l,长为x,则宽为
l−2x
2 (1分)
于是,长方形的面积S=x•
l−2x
2=−(x−
l
4)2+
l2
16,(4分)
所以,当且仅x=
l
4时,面积最大为
l2
16,此时,长方形的
l
4,即为正方形(2分)
(2)证法一:a2=
BC•
BC=(
AC−
AB)(
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