实变函数中开集都是可测的吗

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/03 10:03:48

实变函数中开集都是可测的吗

如果你说的是直线上的开集,那么答案是都可测,因为所有的开集只有两种结构——由有限个开区间做交运算得到,或由任意多个开区间做并运算得到——开区间全部都是可测的,所以由测度公理可以推出所有的开集均可测.
再问：如果不是一维的开集呢
再答：其实是一样的，但在实变函数里面你不需要考虑高维情况——如果你了解拓扑学的话，就会知道开集（最本质的开集，不局限于直线上的开集）一定是任意个有限开集的交的并得到的（意思就是开集的任意并和有限交均为开集），于是究竟是否可测，取决于其上的sigma代数——别忘了是否可测只看集合是否属于sigma代数，直线上使用Lebesgue测度这一特殊测度所以全体开区间均可测——于是对一般的拓扑空间而言，你就得考虑其上sigma代数的定义了，不能单纯地说可测不可测，同理，高维欧式空间是一定是拓扑空间，所以要看你的sigma代数如何定义。。。如果类比直线上开区间构造的方式，将n维空间（就暂且当作n个R的Cartesian product吧）中的开集定义为开球（或同胚于开球的任一结构），并定义n维体积为其测度，那么n维空间中的开集自然是可测的。

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