作业帮一元一次方程的实际应用题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/05 16:24:38
关于一元一次方程的实际应用题，列方程有何好方法，让学生用最短的时间内列出方程，并理解他的意思。
解题思路： 要让学生学会怎样寻找相等关系。列一元一次方程解应用题时，既是没有规律可循，杂乱无章的，又是可以灵活运用，具体问题具体对待的。最主要的是只要多练习，就一定能够掌握列一元一次方程解应用题的技巧和方法的。
解题过程：
一、要让学生学会怎样寻找相等关系。 列方程解应用题有五个一般步骤，其中最关键的是怎样正确找出“能够表示就用题全部含义的相等关系”来。其实相等关系主要有两类：一类是题目给出的条件等量关系，这类关系对应的问题中的主要量是可以变化的，属于“动态”问题；另一类表示各种量之间内在规律固有的等量关系。这类关系对应的问题中的主要量一般情况下是比较稳定的，属于“静态”问题。因此找寻相等关系的方法也有两种。 1、对于“动态”问题中的相等关系，可在变化着的事物中寻找。 一方面，对于发生量变的事物，可以从量的方面来找寻，如教材中的“和、差、倍、分”问题，“等积变形”问题，“追及”问题，“相遇”问题和“劳力分配”问题等都是“动态”问题，可从量的方面按事物发展的顺序找到相等关系。 如例1：“一列快车和一列慢车从相距300公里的甲乙两地同时出发，相向而行，已知快车每小时比慢车多行20公里，两小时相遇，求两列火车的速度。”这是一个典型的相遇问题，慢车和快车同时出发后是两个变化着的研究对象，开车后两列火车走过的路程是时刻变化着的，只是不论如何变化，当两列火车相遇时，总有下面的相等关系： “慢车行程+快车行程=两地距离”。 另一方面，对于发生量变的事物，也可以从“质”的方面来寻找等量关系。如浓度配比问题可以从溶质的方面来寻找等量关系，因为溶液浓度变化前后的溶质一般是不会变的。 如例2：“要把80克15℅的盐水稀释成0.2℅的盐水，要加水多少克？” 这一问题中，由于是在原来的盐水中又加入一部分水，所以盐水的总重量和浓度都变了，但盐水中的溶质盐的重量却没有变，这就是说，题中含有这样的相等关系： “加水前的盐(溶质)的重量=加水后的盐(溶质)的重量”。 2、对于“静态”问题中的相等关系，可在事物之间的内在联系中找到相等关系。 关于这一点，我曾在《行程问题中如何找相等关系》一文中已有专门的描述。其中主要总结了在行程问题中利用三个基本量之间的内在规律找相等关系的一点体会。其实，不只是在行程问题中有三个基本量，而是在任何问题中都有三个基本量，比如在工作问题中有“工作总量、工作效率和工作时间”这三个基本量之间的关系：“工作总量=工作效率×工作时间”；再如在浓度问题中有“浓度、溶质、溶液”这三个基本量之间的关系：“溶质=溶液×浓度”等等。 如例2：“某地区陆地面积是湖水面积的2.6倍，该地区总面积为2.8万平方公里，求该地区湖水面积是多少(精确到0.1平方公里)？” 这一问题中也涉及了三个基本量：水面面积、陆地面积和地区总面积，我们可以认为这些量是不变的，它们之间明显地存在着一种静态的等量关系： 陆地面积+湖水面积=地区总面积。 二、解应用题常用的列方程的方法在概有三种。 1、代数式法。 用代数式将题目中的数量(包括已知量和未知量)及各数量之间的关系表示出来，然后根据各代数式之间静态的内在联系，找到相等关系，列出方程。此法多用于开程问题、按比例分配问题、数字问题等。 2、图示法。 对于一些较直观的问题，可以用示意图表示出题目中的条件及它们之间的关系。然后由示意图中有关基本量的内在联系式找到相等关系，列出方程。比如用线段表示距离，箭头表示方向等。此法多用于行程问题，劳力分配问题，面积、体积问题等。 3、表格法。 将题目中有关数量及其关系填在设计好的一个表格中，然后根据表格逐层分析，由各量之间的内在联系找到相等关系，列出方程。此法多用于浓度配比问题，工程问题以及其它条件较多，关系较复杂的题目。 对以上三点分析方法，应要求学生具体问题具体对待对待，并灵活运用，切不要死记硬背。 三、引导学生逐步掌握设元的技巧。 在应用题中，特别是未知量较多的问题中，若能巧妙的设元，可以给列方程带来方便。设元是列方程解应用题的第一步，对含有多个未知数而又只允许设一个未知数的问题，哪个未知数来设元，直接关系到列方程的难易程度。一般来讲，解应用题有两种设元的方法： 1、直接设元法。 就是题目里怎样问，就怎样设元。这样设元，只要求出所列方程的解，就可直接回答问题。一般情况下，都是采用直接设元法来解决问题的。 2、间接设元法。 有些问题中，若采用直接设元法，会给列方程增加麻烦。如果采用间接设元法，即通过间接的桥梁作用，达到求解的目的。如按比例分配问题，和、差、倍、分问题，整数的组成问题等均可用间接设元法。间接设元的具体做法是设一个不是问题的未知数为“元”，然后用含有字母的代数式来表示所问的未知量，求得未知数的值后，再求出表示未知量的代数式的值，最后回答问题。 有些问题，既可以采用直接设元法，也可以采用间接设元法。故而存在一题多解的问题，要求学生将所有的解法都做出来，然后从中选出一种最好的解法，通过长期的练习，逐渐掌握设元的技巧。 总之，列一元一次方程解应用题时，既是没有规律可循，杂乱无章的，又是可以灵活运用，具体问题具体对待的。最主要的是只要多练习，就一定能够掌握列一元一次方程解应用题的技巧和方法的。
解题过程：
一、要让学生学会怎样寻找相等关系。 列方程解应用题有五个一般步骤，其中最关键的是怎样正确找出“能够表示就用题全部含义的相等关系”来。其实相等关系主要有两类：一类是题目给出的条件等量关系，这类关系对应的问题中的主要量是可以变化的，属于“动态”问题；另一类表示各种量之间内在规律固有的等量关系。这类关系对应的问题中的主要量一般情况下是比较稳定的，属于“静态”问题。因此找寻相等关系的方法也有两种。 1、对于“动态”问题中的相等关系，可在变化着的事物中寻找。 一方面，对于发生量变的事物，可以从量的方面来找寻，如教材中的“和、差、倍、分”问题，“等积变形”问题，“追及”问题，“相遇”问题和“劳力分配”问题等都是“动态”问题，可从量的方面按事物发展的顺序找到相等关系。 如例1：“一列快车和一列慢车从相距300公里的甲乙两地同时出发，相向而行，已知快车每小时比慢车多行20公里，两小时相遇，求两列火车的速度。”这是一个典型的相遇问题，慢车和快车同时出发后是两个变化着的研究对象，开车后两列火车走过的路程是时刻变化着的，只是不论如何变化，当两列火车相遇时，总有下面的相等关系： “慢车行程+快车行程=两地距离”。 另一方面，对于发生量变的事物，也可以从“质”的方面来寻找等量关系。如浓度配比问题可以从溶质的方面来寻找等量关系，因为溶液浓度变化前后的溶质一般是不会变的。 如例2：“要把80克15℅的盐水稀释成0.2℅的盐水，要加水多少克？” 这一问题中，由于是在原来的盐水中又加入一部分水，所以盐水的总重量和浓度都变了，但盐水中的溶质盐的重量却没有变，这就是说，题中含有这样的相等关系： “加水前的盐(溶质)的重量=加水后的盐(溶质)的重量”。 2、对于“静态”问题中的相等关系，可在事物之间的内在联系中找到相等关系。 关于这一点，我曾在《行程问题中如何找相等关系》一文中已有专门的描述。其中主要总结了在行程问题中利用三个基本量之间的内在规律找相等关系的一点体会。其实，不只是在行程问题中有三个基本量，而是在任何问题中都有三个基本量，比如在工作问题中有“工作总量、工作效率和工作时间”这三个基本量之间的关系：“工作总量=工作效率×工作时间”；再如在浓度问题中有“浓度、溶质、溶液”这三个基本量之间的关系：“溶质=溶液×浓度”等等。 如例2：“某地区陆地面积是湖水面积的2.6倍，该地区总面积为2.8万平方公里，求该地区湖水面积是多少(精确到0.1平方公里)？” 这一问题中也涉及了三个基本量：水面面积、陆地面积和地区总面积，我们可以认为这些量是不变的，它们之间明显地存在着一种静态的等量关系： 陆地面积+湖水面积=地区总面积。 二、解应用题常用的列方程的方法在概有三种。 1、代数式法。 用代数式将题目中的数量(包括已知量和未知量)及各数量之间的关系表示出来，然后根据各代数式之间静态的内在联系，找到相等关系，列出方程。此法多用于开程问题、按比例分配问题、数字问题等。 2、图示法。 对于一些较直观的问题，可以用示意图表示出题目中的条件及它们之间的关系。然后由示意图中有关基本量的内在联系式找到相等关系，列出方程。比如用线段表示距离，箭头表示方向等。此法多用于行程问题，劳力分配问题，面积、体积问题等。 3、表格法。 将题目中有关数量及其关系填在设计好的一个表格中，然后根据表格逐层分析，由各量之间的内在联系找到相等关系，列出方程。此法多用于浓度配比问题，工程问题以及其它条件较多，关系较复杂的题目。 对以上三点分析方法，应要求学生具体问题具体对待对待，并灵活运用，切不要死记硬背。 三、引导学生逐步掌握设元的技巧。 在应用题中，特别是未知量较多的问题中，若能巧妙的设元，可以给列方程带来方便。设元是列方程解应用题的第一步，对含有多个未知数而又只允许设一个未知数的问题，哪个未知数来设元，直接关系到列方程的难易程度。一般来讲，解应用题有两种设元的方法： 1、直接设元法。 就是题目里怎样问，就怎样设元。这样设元，只要求出所列方程的解，就可直接回答问题。一般情况下，都是采用直接设元法来解决问题的。 2、间接设元法。 有些问题中，若采用直接设元法，会给列方程增加麻烦。如果采用间接设元法，即通过间接的桥梁作用，达到求解的目的。如按比例分配问题，和、差、倍、分问题，整数的组成问题等均可用间接设元法。间接设元的具体做法是设一个不是问题的未知数为“元”，然后用含有字母的代数式来表示所问的未知量，求得未知数的值后，再求出表示未知量的代数式的值，最后回答问题。 有些问题，既可以采用直接设元法，也可以采用间接设元法。故而存在一题多解的问题，要求学生将所有的解法都做出来，然后从中选出一种最好的解法，通过长期的练习，逐渐掌握设元的技巧。 总之，列一元一次方程解应用题时，既是没有规律可循，杂乱无章的，又是可以灵活运用，具体问题具体对待的。最主要的是只要多练习，就一定能够掌握列一元一次方程解应用题的技巧和方法的。