用数学归纳法证明 n大于等于10时,2^n>n^3
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/13 20:07:59
用数学归纳法证明 n大于等于10时,2^n>n^3
证明:(1)当n=10时,2^n=1024>1000=n^3,∴结论对n=10成立
(2)假设结论对一切n大于等于10皆成立,即有2^n>n^3,
则对n+1,左边为2^(n+1)=2*2^n=2^n+2^n,右边为(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,左边减右边=(2^n+2^n)-(n^3+3n^2+3n+1),由(2)知(2^n-n^3)>0,故只须证(2^n-3n^2-3n-1)>0对n>10皆成立,即2^n>3n^2+3n+1,又1>3n^2+3n+1/2^n(这是因为n趋于无穷时不等式右边极限为零,且右边是关于n的单调递减数列,故n=10时,1>3n^2+3n+1/2^n,所以n>10时更加成立)这个不等式两边同乘以2^n即证得所要证的不等式.
(2)假设结论对一切n大于等于10皆成立,即有2^n>n^3,
则对n+1,左边为2^(n+1)=2*2^n=2^n+2^n,右边为(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,左边减右边=(2^n+2^n)-(n^3+3n^2+3n+1),由(2)知(2^n-n^3)>0,故只须证(2^n-3n^2-3n-1)>0对n>10皆成立,即2^n>3n^2+3n+1,又1>3n^2+3n+1/2^n(这是因为n趋于无穷时不等式右边极限为零,且右边是关于n的单调递减数列,故n=10时,1>3n^2+3n+1/2^n,所以n>10时更加成立)这个不等式两边同乘以2^n即证得所要证的不等式.
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