12题老师不会做/不会分析/答案要详细啦

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/04 20:12:35

解题思路：本题主要考查了与函数的性质有关的新定义问题，涉及知识点较多，综合性强，难度较大．
解题过程：
解：①．若f（x）=x²（x≥0），若存在“和谐区间”[a，b]，
则此时函数单调递增，则由 f(a)＝2a f(b)＝2b ，得 a2＝2a b2＝2b ，∴ a＝0 b＝2 ，
∴f（x）=x²（x≥0）存在“和谐区间”[0，2]，∴①正确．
②，若f（x）=e^x（x∈R），若存在“和谐区间”[a，b]，
则此时函数单调递增，则由 f(a)＝2a f(b)＝2b ，得 ea＝2a eb＝2b ，
即a，b是方程e^x=2x的两个不等的实根，
构建函数g（x）=e^x-2x，
∴g′（x）=e^x-2，
∴函数在（-∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，
∴函数在x=ln2处取得极小值，且为最小值．
∵g（ln2）=2-ln2＞0，
∴g（x）＞0，
∴e^x-2x=0无解，故函数不存在“和谐区间”，∴②不正确；
③，∵f（x）= 1 x ，在（0，+∞）上是减函数，若存在“和谐区间”[a，b]，
则 f(a)＝2b f(b)＝2a ，得 1 a ＝2b 1 b ＝2a ，
∴满足ab= 1 2 的区间[a，b]都是“和谐区间”，故③正确；
④．若函数f（x）= 4x x2+1 （x≥0），
f′（x）= 4(x2+1)−4x•2x (x2+1)2 = 4(1−x)(x+1) (x2+1)2 ，
若存在“和谐区间”[a，b]⊆[0，1]，
则由 f(a)＝2a f(b)＝2b ，得 4a a2+1 ＝2a 4b b2+1 ＝2b ，
∴a=0，b=1，
∴存在“和谐区间”[0，1]，∴④正确．
故答案是①③④．
最终答案：D

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