与拉格朗日定理有关的一道证明题
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/03 03:05:59
与拉格朗日定理有关的一道证明题
设f(x)在[0,2]上连续.在(0,2)内可导.且f(0)=f(2)=0,f(1)=2,c在(1,2)内,f(c)=c.求证:存在ξ属于(0,c),使f'(ξ)-c[f(ξ)-ξ]=1
设f(x)在[0,2]上连续.在(0,2)内可导.且f(0)=f(2)=0,f(1)=2,c在(1,2)内,f(c)=c.求证:存在ξ属于(0,c),使f'(ξ)-c[f(ξ)-ξ]=1
题目似乎是源自高教出版的习题啊~
证明如下:
欲证f'(ξ)-c[f(ξ)-ξ]=1,等价于证明[f'(ξ)-1]-c[f(ξ)-ξ]=0
(分析,因为[f(ξ)-ξ]显然导数是[f'(ξ)-1],而当前形式不满足中值定理)
构造函数F(x)=e^(-cx)*[f(ξ)-ξ]
此时 ,显然有f(0)=0,f(c)=0
因而对F(x)使用洛尔中值定理
即(0,c)存在一点ξ,使得
F'(x)=e^(-cx)*[f'(ξ)-1]+e^(-cx)*(-c)*[f(ξ)-ξ]=0
因为e^(-cx)不等于0,等式两边同时约去,即有
[f'(ξ)-1]-c[f(ξ)-ξ]=0 ====》 f'(ξ)-c[f(ξ)-ξ]=1
证毕!
PS:此题目原本还有第一问的 就是证明f(c)=c 这是个引导题目
此题考查的是函数构造技巧 题目难度0.31 接近难题行列
证明如下:
欲证f'(ξ)-c[f(ξ)-ξ]=1,等价于证明[f'(ξ)-1]-c[f(ξ)-ξ]=0
(分析,因为[f(ξ)-ξ]显然导数是[f'(ξ)-1],而当前形式不满足中值定理)
构造函数F(x)=e^(-cx)*[f(ξ)-ξ]
此时 ,显然有f(0)=0,f(c)=0
因而对F(x)使用洛尔中值定理
即(0,c)存在一点ξ,使得
F'(x)=e^(-cx)*[f'(ξ)-1]+e^(-cx)*(-c)*[f(ξ)-ξ]=0
因为e^(-cx)不等于0,等式两边同时约去,即有
[f'(ξ)-1]-c[f(ξ)-ξ]=0 ====》 f'(ξ)-c[f(ξ)-ξ]=1
证毕!
PS:此题目原本还有第一问的 就是证明f(c)=c 这是个引导题目
此题考查的是函数构造技巧 题目难度0.31 接近难题行列