证明：每一个简单多面体至少有两个面有相同数量的边,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/08 20:39:24

这道题可以用反证法：
首先引用欧拉公式：V+F=E+2 …………①
其中V是顶点(Vertex)数,F是面(Face)数,E是边(Edge)数.
假设每个面的边数不同,所有面的边数至少应为3,4,5,...,F+2 (一共F个面)
而每条边都恰好被两个面所共有,那么边数至少应为 [3+4+5+...+(F+2)] / 2
即 E ≥ [3+4+5+...+(F+2)] / 2 …………②
再看顶点,每条边都有两个顶点,而每个顶点都至少被3条边共用
于是：V ≤ 2*E / 3 …………③
把③代入①：E+2 = V+F ≤ F + 2*E / 3 …………④
整理可得：E /3 +2 ≤ F …………⑤
将②代入⑤并整理,得：6F ≥ [3+4+5+...+(F+2)] +12 = (F+5)*F/ 2 +12
再整理得：F² - 7F + 24 ≤ 0 …………⑥
而 F² - 7F + 24 对任意实数F都大于0 (一个简单的二次函数而已,算下判别式即可),更别说在多面体中 F ≥ 4 ,所以⑥显然不成立,也就引出了矛盾,即原题得证
（#）
这里要补充一句,由推到过程发现这道题的矛盾非常大,我是指⑥的左边放得比较大,在R上恒正,所以题目的条件还是比较宽松的,在很多情况下甚至会有多个面的边数相同,或是多组相同边数的面

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