f(x)=x*3+bx*2+cx+d在(1,f(1))处的切线方程为12x+y-13=0且它们只有一个公共点,求f(x)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/18 19:06:36
f(x)=x*3+bx*2+cx+d在(1,f(1))处的切线方程为12x+y-13=0且它们只有一个公共点,求f(x)的极值之和
f'(x)=3x²+2bx+c
∵在(1,f(1))处的切线方程为12x+y-13=0
∴12+f(1)-13=0
∴f(1)=1 且f'(1)=k=-12
∴1+b+c+d=1
3+2b+c=-12
∴c=-15-2b,d=15+b
∴f(x)=x³+bx²-(15+2b)x+15+b
y=-12x+13与y=x³+bx²-(15+2b)x+15+b
联立,消去y得
x³+bx²-(15+2b)x+15+b=-12x+13
x³+bx²-(3+2b)x+2+b=0
(x-1)[x²+(b+1)x-2-b]=0
x-1=0或x²+(b+1)x-2-b=0
∵曲线与12x+y-13=0只有一个公共点
∴x²+(b+1)x-2-b=0无解或有两个相等的解x=1
∵Δ=(b+1)²+4(2+b)=(b+3)²≥0
∴只有Δ=0,b=-3,有两个相等的解x=1
∴c=-15+6=-9,d=15-3=12
∴f(x)=x³-3x²-9x+12
f'(x)=3x²-6x-9=3(x²-2x-3)=3(x+1)(x-3)
f(x)在(-∞,-1)递增,在(-1,3)递减,在(3,+∞)递增
∴x=-1,x=3分别为f(x)的极大值点和极小值点
∴f(x)的极值之和f(-1)+f(3)=17-15=2
再问: 从x³+bx²-(3+2b)x+2+b=0到 (x-1)[x²+(b+1)x-2-b]=0这步,如何想到呢?
再答: x³+bx²-(3+2b)x+2+b=0一定有唯一解x=1 所以肯定能分解出一个因式x-1出来 后面的二次式可以x²系数为1,常数项为-b-2一次项自然也能确定
∵在(1,f(1))处的切线方程为12x+y-13=0
∴12+f(1)-13=0
∴f(1)=1 且f'(1)=k=-12
∴1+b+c+d=1
3+2b+c=-12
∴c=-15-2b,d=15+b
∴f(x)=x³+bx²-(15+2b)x+15+b
y=-12x+13与y=x³+bx²-(15+2b)x+15+b
联立,消去y得
x³+bx²-(15+2b)x+15+b=-12x+13
x³+bx²-(3+2b)x+2+b=0
(x-1)[x²+(b+1)x-2-b]=0
x-1=0或x²+(b+1)x-2-b=0
∵曲线与12x+y-13=0只有一个公共点
∴x²+(b+1)x-2-b=0无解或有两个相等的解x=1
∵Δ=(b+1)²+4(2+b)=(b+3)²≥0
∴只有Δ=0,b=-3,有两个相等的解x=1
∴c=-15+6=-9,d=15-3=12
∴f(x)=x³-3x²-9x+12
f'(x)=3x²-6x-9=3(x²-2x-3)=3(x+1)(x-3)
f(x)在(-∞,-1)递增,在(-1,3)递减,在(3,+∞)递增
∴x=-1,x=3分别为f(x)的极大值点和极小值点
∴f(x)的极值之和f(-1)+f(3)=17-15=2
再问: 从x³+bx²-(3+2b)x+2+b=0到 (x-1)[x²+(b+1)x-2-b]=0这步,如何想到呢?
再答: x³+bx²-(3+2b)x+2+b=0一定有唯一解x=1 所以肯定能分解出一个因式x-1出来 后面的二次式可以x²系数为1,常数项为-b-2一次项自然也能确定
已知f(x)=ax^3+bx^2+cx+d为奇函数,且在点(2,f(2))处的切线方程为9x-y-16=0求f(x)的解
已知函数F(x)=x^3+bx^2+cx+d的图像过点p(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+
已知函数f(x)=x^3+bx+cx+d的图像过点P(0,2),且在点M(-1,f(x))处的切线方程为6x-y+7=0
已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d的图象过点P(0,2)且在点M(-1,1)处的切线方程为y=6x+7 求
已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d的图像经过点p(0,2),且在点m(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y
偶函数f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e的图像过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求f(
已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d f(x)在x=1处的切线方程为y=2x-2
已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d的图像过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为y=7.
已知函数f(x)=x三次方+bx平方+cx+d的图像过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y
偶函数f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e的图像过点P(0,1),在x=1处的切线方程为y=x-2,求f(x
已知函数f(x)=x^3-3ax+b,在x=0处的切线方程为3ax+y-2a=0且y=f(x)与x轴有且只有一个公共点,
已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d,当b=0时,证明:曲线y=f(x)与其在点(0,f(0))处的切线只有一个