如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E．BD与CE相交于H，在BD上取一点M

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/10/04 18:26:35

如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E．BD与CE相交于H，在BD上取一点M，使BM=CH．
（1）求证：∠BOC=∠BHC；
（2）若OH=1，求MH的长．

（1）证明：∵∠BAC=60°（已知），
∴∠BOC=2∠BAC=120°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
又∵∠BHC=∠DHE（对顶角相等），
∠DHE=360°-（90°+90°+∠BAC）=120°（四边形的内角和定理），
∴∠BOC=∠BHC；

（2）∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
又∠BOC=120°，
∴∠OBC=
1
2（180°-120°）=30°，而∠HBC=90°-∠BCA，
∴∠OBM=∠OBC-∠HBC=30°-（90°-∠BCA）=∠BCA-60°，
又∠OCH=∠HCB-∠BCO=∠HCB-
1
2（180°-120°）=∠HCB-30°，但∠HCA=90°-∠BAC=90°-60°=30°
∴∠OCH=∠HCB+∠HCA-30°-30°=∠BCA-60°
∴∠OBM=∠OCH；
∵已知BM=CH，OB=OC，
∴△BOM≌△COH．
∴OH=OM，且∠COH=∠BOM；
∴∠OHM=∠OMH，∠MOH=∠BOC=120°
∠OHM=
1
2（180°-120°）=30°．
在△OMH中作OP⊥MH，P为垂足，则
OP=
1
2OH，由勾股定理，得
（
1
2MH）²=OH²-OP²=OH²-（
1
2OH ）²=
3
4，
∴MH=
3．

已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD与CE相交于点O，且BD=CE．求证：OB=OC 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点F，延长CE到点G，使CG=AB，若∠BCE= 1.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°AB=AC,BD平分∠ABC,与AC交于点D,CE⊥BD交BD的延长线与点E 如图，已知CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O且AO平分∠BAC． 20..如图,已知在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD与CE相交于M点.求证：BM=CM. 如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,CE⊥BD交BD的延长线于点E. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,若MN是经过点A的直线,BD⊥MN于点D,CE⊥MN于点E,且BD=A 如图,已知∠ABC=90°,AB=BC,D为AC上的一点,CE⊥BD,交BD于点E,AF⊥BD,交BD延长线于点F.若E 如图,在三角形ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,CE相交于点F,求证AF平分∠BAC 如图,在三角形ABC中,AB=CD,∠A=90°,D是AC上一点,CE⊥BD于点E,且CE=二分之一BD.求证：BD平分如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD 已知如图在△abc中,bd⊥ac,ce⊥ab,垂足分别为d,e,bd,ce相交于点o [1]∠a=50°,求∠boc [