f(x,y)=x^2-2xy^2+2y^4-2y^2是否有极值,如果有,极值为?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/03 05:31:03
f(x,y)=x^2-2xy^2+2y^4-2y^2是否有极值,如果有,极值为?
f(x,y)=x^2-2xy^2+2y^4-2y^2
求一阶偏导:
∂f/∂x=2x-2y^2=0
∂f/∂y=-4xy+8y^3-4y=0
得:
x-y^2=0
xy-2y^3+y=0
再化简:
xy-y^3-y^3+y=0
y(x-y^2)-y^3+y=0
0+y(y^2-1)=0
y*(y-1)*(y+1)=0
解得:
y=±1,0
x= 1,0
即,可能极值点(稳定点)为P1=(1,-1),P2=(0,0),P3=(1,1)
再求二阶偏导数:
∂^2f/∂x^2=2 ∂^2f/∂x∂y=-4y
∂^2f/∂y∂x=-4y ∂^2f/∂y^2=-4x+24y^2-4
考虑Hesse矩阵的行列式:
detHf(P1)=16>0,A=∂^2f/∂x^2=2>0,取得极小值
detHf(P2)=-80,A=∂^2f/∂x^2=2>0,取得极小值
因此,f在(1,-1),(1,1)处能取得极小值,极值为1-2+2-2=-1
有不懂欢迎追问
求一阶偏导:
∂f/∂x=2x-2y^2=0
∂f/∂y=-4xy+8y^3-4y=0
得:
x-y^2=0
xy-2y^3+y=0
再化简:
xy-y^3-y^3+y=0
y(x-y^2)-y^3+y=0
0+y(y^2-1)=0
y*(y-1)*(y+1)=0
解得:
y=±1,0
x= 1,0
即,可能极值点(稳定点)为P1=(1,-1),P2=(0,0),P3=(1,1)
再求二阶偏导数:
∂^2f/∂x^2=2 ∂^2f/∂x∂y=-4y
∂^2f/∂y∂x=-4y ∂^2f/∂y^2=-4x+24y^2-4
考虑Hesse矩阵的行列式:
detHf(P1)=16>0,A=∂^2f/∂x^2=2>0,取得极小值
detHf(P2)=-80,A=∂^2f/∂x^2=2>0,取得极小值
因此,f在(1,-1),(1,1)处能取得极小值,极值为1-2+2-2=-1
有不懂欢迎追问
求f(x,y)=xy(x^2+y^2-1)的极值和极值点,
求函数f(x,y)=4(x-y)-x^2-y^2的极值,x的极值和y的极值
二元函数求极值,求函数f(x,y)=(2x-x^2)(4y-y^2)的极值.有5个驻点,每个驻点用判别式断定,
求函数f(x,y)=xy(2-x-y)的极值
求函数f(x,y)=x³+y³-3xy+2的极值
求函数f(x,y)=(6x-x^2)(4y-y^2)的极值
求函数f(x,y)=4(x-y)-x^2-y^2的极值
求函数f(x,y)=4(x-y)-x^2-y^2 的极值?
求f(x,y)=4(x-y)-x^2-y^2的极值
高数 求函数极值f(x,y)=x^2+y^3-6xy+18x-39y+16
求二元函数 f(x,y)=x2y2+xy,在条件x+2y=4下的极值
求函数f(x,y)=1/2x^2-xy+y^2+3x的极值