关于合情推理与演绎推理
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/04 16:01:48
关于合情推理与演绎推理应该用什么样的思维去想,每个题应该用什么样的方法去证明?
解题思路: 点拨
解题过程:
一、合情推理
1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
(1)定义理解:归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理;
(2)应用举例:前面学过的统计学中的抽样推断、等差数列的通项公式的求法,都属于归纳推理;
(3)学习目的:可以发现新事实,获得新结论;
2.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).
(1)定义理解:ⅰ类比推理是指两类对象具有类似特征;ⅱ由一类特征推想另一类特征;ⅲ类比推理是由特殊到特殊的推理;
(2)应用举例:
ⅰ代数举例.
两个实数的大小关系与两个集合的包含关系类比如下:
两个实数 的关系
两个集合 的关系
相等或不等
包含关系
不等
真包含关系
相等
相等关系
ⅱ平面几何与立体几何类比举例:平面内与同一条直线平行的两条直线平行;类比推出:空间中与同一个平面平行的两个平面平行;
ⅲ解析几何举例:椭圆的定义:平面内与两定点的距离的和是一个常数(大于两定点的距离)的点的轨迹是椭圆;类比得到双曲线的定义:平面内与两定点的距离的差的绝对值是一个常数(小于两定点的距离)的点的轨迹是双曲线;
无论是日常生活,还是天文地理,类比的例子是非常多的,它是重要的数学思维方法,在数学的学习中占有重要的位置.
(3)学习目的:提出新问题,作出新发现.
3.推理过程:
从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→猜想.
4.合情推理:归纳推理与类比推理统称为合情推理.
(1)综合理解:合情推理是指“合乎情理”的推理,得到的结论不一定正确,例如:在平面内与同一直线垂直的两条直线平行,类比推测得:在空间中与同一平面垂直的两个平面平行,显然此结论是错误的.
(2)学习目的:数学研究中,合情推理帮助我们猜想、发现结论,提供证明的思路和方向.
二、演绎推理
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理(逻辑推理).
(1)理解:演绎推理是由一般到特殊的推理;
(2)模式:
①“三段论”:ⅰ大前提:已知的一般原理;ⅱ小前提:所研究的特殊情况;ⅲ结论:根据一般原理,对特殊情况作出的判断.
②字母表示:ⅰ大前提:M是P;ⅱ小前提:S是M;ⅲ结论:S是P;
③集合简述:ⅰ大前提: 且 具有性质 ;ⅱ小前提: 且 ;ⅲ结论; 也具有性质 ;
(3)举例:已知 是实数,函数 ,当 时, ,证明 .
证明:由已知当 时,有 ,
因为 时,所以 ,
而 ,即 .
解题分析:证明采用了曲型的演绎推理方法:ⅰ大前提:当 时,有 ;ⅱ小前提: ;ⅲ结论: .
三、三种推理的关系
(1)从推理形式上看:归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理;
(2)从所得结论上看:合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;而演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确;
(3)从数学角度上看:合情推理发现证明思路,演绎推理证明数学结论;
编者按:现在我们学习了合情推理与演绎推理,在今后的解题或证题中要去体会它,提高逻辑思维能力,使解题过程更具条理.
最终答案:略
解题过程:
一、合情推理
1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
(1)定义理解:归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理;
(2)应用举例:前面学过的统计学中的抽样推断、等差数列的通项公式的求法,都属于归纳推理;
(3)学习目的:可以发现新事实,获得新结论;
2.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).
(1)定义理解:ⅰ类比推理是指两类对象具有类似特征;ⅱ由一类特征推想另一类特征;ⅲ类比推理是由特殊到特殊的推理;
(2)应用举例:
ⅰ代数举例.
两个实数的大小关系与两个集合的包含关系类比如下:
两个实数 的关系
两个集合 的关系
相等或不等
包含关系
不等
真包含关系
相等
相等关系
ⅱ平面几何与立体几何类比举例:平面内与同一条直线平行的两条直线平行;类比推出:空间中与同一个平面平行的两个平面平行;
ⅲ解析几何举例:椭圆的定义:平面内与两定点的距离的和是一个常数(大于两定点的距离)的点的轨迹是椭圆;类比得到双曲线的定义:平面内与两定点的距离的差的绝对值是一个常数(小于两定点的距离)的点的轨迹是双曲线;
无论是日常生活,还是天文地理,类比的例子是非常多的,它是重要的数学思维方法,在数学的学习中占有重要的位置.
(3)学习目的:提出新问题,作出新发现.
3.推理过程:
从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→猜想.
4.合情推理:归纳推理与类比推理统称为合情推理.
(1)综合理解:合情推理是指“合乎情理”的推理,得到的结论不一定正确,例如:在平面内与同一直线垂直的两条直线平行,类比推测得:在空间中与同一平面垂直的两个平面平行,显然此结论是错误的.
(2)学习目的:数学研究中,合情推理帮助我们猜想、发现结论,提供证明的思路和方向.
二、演绎推理
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理(逻辑推理).
(1)理解:演绎推理是由一般到特殊的推理;
(2)模式:
①“三段论”:ⅰ大前提:已知的一般原理;ⅱ小前提:所研究的特殊情况;ⅲ结论:根据一般原理,对特殊情况作出的判断.
②字母表示:ⅰ大前提:M是P;ⅱ小前提:S是M;ⅲ结论:S是P;
③集合简述:ⅰ大前提: 且 具有性质 ;ⅱ小前提: 且 ;ⅲ结论; 也具有性质 ;
(3)举例:已知 是实数,函数 ,当 时, ,证明 .
证明:由已知当 时,有 ,
因为 时,所以 ,
而 ,即 .
解题分析:证明采用了曲型的演绎推理方法:ⅰ大前提:当 时,有 ;ⅱ小前提: ;ⅲ结论: .
三、三种推理的关系
(1)从推理形式上看:归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理;
(2)从所得结论上看:合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;而演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确;
(3)从数学角度上看:合情推理发现证明思路,演绎推理证明数学结论;
编者按:现在我们学习了合情推理与演绎推理,在今后的解题或证题中要去体会它,提高逻辑思维能力,使解题过程更具条理.
最终答案:略