已知：直线y=-33x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限内作正三角形ABC，⊙O′为△ABC的外接

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/09/13 11:38:36

已知：直线y=-

（1）∵直线y=-

3
3x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（
3，0），B（0，1），
在Rt△ABO中，
∵AB=
OA2+OB2=2，
∴tan∠BAO=
1

3=

3
3，
∴∠BAO=30°
又∵△ABC是等边三角形
∴AC=AB=2，∠BAC=60°，
∴∠OAC=90°
∴CA∥OB，
∴C点坐标为（
3，2）；

（2）∵D是AB的中点，过D作DF∥OB，交OA于F，
则DF=
1
2OB=
1
2，OF=
1
2OA=

3
2
∴D点坐标为（

3
2，
1
2），
设过C、D两点的一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），
则

3k+b＝0

3
2k+b＝
1
2，解得

k＝
3
b＝−1，
∴所求一次函数的解析式为y=
3x-1；

（3）过点B作BH⊥AC于点H，
∵△ABC是等边△，
∴BH是AC的垂直平分线，
∴BF过点O′，
∵B（0，1），
∴当y=1时，x=
2
3
3
∴O′（
2
3
3，1），
∵CA∥BO，BH⊥AC，
∴BH⊥OB，且过⊙O′半径的外端，
∴OB是⊙O′的切线，
∴OB²=OE•OA，即1=OE•
3，解得OE=

3
3，
∴E（

3
3，0），
设过E、O′、A三点的抛物线为y=ax2+bx+c，将三点坐标代入得

3a+
3b+c＝0

4
3a+
2
3b
3+c＝1

1
3a+b+c＝0

解得

a＝−3
b＝4
3
c＝−3
∴所求二次函数的解析式为y=-3x²+4
3x-3．