作业帮经典集合的并,交,补,运算与直积运算有什么关系,又有什么本质的区别?为什么要定义直积德运算?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/04 18:22:39
经典集合的并,交,补,运算与直积运算有什么关系,又有什么本质的区别?为什么要定义直积德运算?
急呀,大师
急呀,大师
从素朴的观点来看,直积运算是为了产生有序对,而并,交,补运算只能产生集合,而集合本身是无序的,因此并,交,补运算产生出的集合无法“直接”刻画“有序”概念.
但从公理集合论的观点来看,有序对定义为集合{a,{a,b}},因此直积运算完全可以化归为一般集合的并和幂集运算：
A×B就是对于A中的每个元素a,依次和B中的每个元素b进行“配对”形成集合{a,b}（由配对公理保证）,再用a和{a,b}进行配对,最后再把这些{a,{a,b}}收集起来形成A×B（由子集公理、并集公理、幂集公理保证,A×B是P(P(A∪B)∪A)的子集）.
也就是说,在公理集合论中,有序对和直积运算理论上可以取消,但由于有序对的概念会被大量用到,因此定义直积运算是为了表达上的方便,也符合某种对“有序对”概念的直观.
但从公理集合论的观点来看,有序对定义为集合{a,{a,b}},因此直积运算完全可以化归为一般集合的并和幂集运算：
A×B就是对于A中的每个元素a,依次和B中的每个元素b进行“配对”形成集合{a,b}（由配对公理保证）,再用a和{a,b}进行配对,最后再把这些{a,{a,b}}收集起来形成A×B（由子集公理、并集公理、幂集公理保证,A×B是P(P(A∪B)∪A)的子集）.
也就是说,在公理集合论中,有序对和直积运算理论上可以取消,但由于有序对的概念会被大量用到,因此定义直积运算是为了表达上的方便,也符合某种对“有序对”概念的直观.