求所有正整数x,y,使得x2+3y与y2+3x都是完全平方数.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/29 08:20:38
求所有正整数x,y,使得x2+3y与y2+3x都是完全平方数.
令x2+3y=m2(1),
y2+3x=n2(2),
由于其对称性,可暂设x≥y,不失一般性.
由(1)式可知m>x,
又因为m2=x2+3y<x2+4x+4=(x+2)2,
所以,只有m=x+1,代入(1)得
3y=2x+1,
x=
(3y−1)
2 (3)
将其代入(2)式得,
y2+
9
2y-
3
2=n2(4)
同理可以得
y<n<y+3,
故只有n=y+1或n=y+2
分别代入(4)式得,
y=1或,y=11,
由(3)式可得,x=1或x=16,
又因为x,y可互换,
故方程有三组解,即(1,1);(16,11);(11,16)
y2+3x=n2(2),
由于其对称性,可暂设x≥y,不失一般性.
由(1)式可知m>x,
又因为m2=x2+3y<x2+4x+4=(x+2)2,
所以,只有m=x+1,代入(1)得
3y=2x+1,
x=
(3y−1)
2 (3)
将其代入(2)式得,
y2+
9
2y-
3
2=n2(4)
同理可以得
y<n<y+3,
故只有n=y+1或n=y+2
分别代入(4)式得,
y=1或,y=11,
由(3)式可得,x=1或x=16,
又因为x,y可互换,
故方程有三组解,即(1,1);(16,11);(11,16)
高中竞赛(数论)x,y是正整数 x^2+3*y 和 y^2+3*x 都是完全平方数,求所有的x,y
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