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如图,D是BC上一点,DE∥AB,DF∥AC,△CDE、△BDF、平行四边形DEAF面积分别为S1、S2、S3.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/02 07:31:46
如图,D是BC上一点,DE∥AB,DF∥AC,△CDE、△BDF、平行四边形DEAF面积分别为S1、S2、S3.
求证:S3=2√S1·S2
由DE∥AB,△CDE与△CBA相似,
所以S△CDE/S△CBA=(CD/BC)^2
即S1/(S1+S2+S3)=(CD/BC)^2,√[S1/(S1+S2+S3)]=CD/BC (1)
同理有△BDE与△BCA相似
可推得√[S2/(S1+S2+S3)]=BD/BC (2)
式(1)和(2)相加得 √[S1/(S1+S2+S3)]+√[S2/(S1+S2+S3)]=CD/BC+BD/BC=1
√S1+√S2=√(S1+S2+S3)
两边平方,可得S1+2√(S1*S2)+S2=S1+S2+S3
S3=2√(S1*S2) ,得证.