作业帮请老师解答第4题，谢谢！
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/30 20:15:12
解题思路： 数列 。
解题过程：
据题意可得：（1）1=f(1)=2b/(a-1), a=2b+1.
2x=f(x)=2bx/(ax-1), x不等于1/a.
2ax^2 - 2x = 2bx,
0=ax^2-(1+b)x=ax[x-(1+b)/a], (1+b)/a=0, b=-1, a=2b+1=-1.
所以f(x)=-2x/(-x-1)=2x/(x+1).
（2）a(n+1)=f[a(n)]=2a(n)/[a(n)+1],
若a(n+1)=0,则a(n)=0, ..., a(1)=0,与a(1)=2/3矛盾.
因此,a(n)不等于0.
1/a(n+1)=[a(n)+1]/[2a(n)]=(1/2)[1/a(n)] + 1/2,
1/a(n+1) - 1 = (1/2)[1/a(n) - 1]
{1/a(n)-1}是首项为1/a(1)-1=1/2,公比为(1/2)的等比数列.
1/a(n) - 1 = (1/2)^n = b(n),
1/a(n) = 1 + 1/2^n = [2^n+1]/2^n
a(n)=2^n/[1+2^n],
a(n)b(n)=1/[1+2^n]<1/2^n
a(1)b(1)+a(2)b(2)+...+a(n)b(n) < 1/2 + 1/2^2 + ... + 1/2^n = (1/2)[1-1/2^n]/(1-1/2) = 1- 1/2^n < 1
最终答案：略
解题过程：
据题意可得：（1）1=f(1)=2b/(a-1), a=2b+1.
2x=f(x)=2bx/(ax-1), x不等于1/a.
2ax^2 - 2x = 2bx,
0=ax^2-(1+b)x=ax[x-(1+b)/a], (1+b)/a=0, b=-1, a=2b+1=-1.
所以f(x)=-2x/(-x-1)=2x/(x+1).
（2）a(n+1)=f[a(n)]=2a(n)/[a(n)+1],
若a(n+1)=0,则a(n)=0, ..., a(1)=0,与a(1)=2/3矛盾.
因此,a(n)不等于0.
1/a(n+1)=[a(n)+1]/[2a(n)]=(1/2)[1/a(n)] + 1/2,
1/a(n+1) - 1 = (1/2)[1/a(n) - 1]
{1/a(n)-1}是首项为1/a(1)-1=1/2,公比为(1/2)的等比数列.
1/a(n) - 1 = (1/2)^n = b(n),
1/a(n) = 1 + 1/2^n = [2^n+1]/2^n
a(n)=2^n/[1+2^n],
a(n)b(n)=1/[1+2^n]<1/2^n
a(1)b(1)+a(2)b(2)+...+a(n)b(n) < 1/2 + 1/2^2 + ... + 1/2^n = (1/2)[1-1/2^n]/(1-1/2) = 1- 1/2^n < 1
最终答案：略