求f(x,y)=x^3-y^3+3x^2-9x的极值.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/04 07:15:35
求f(x,y)=x^3-y^3+3x^2-9x的极值.
求f(x,y)=x³-y³+3x²-9x的极值
令∂f/∂x=3x²+6x-9=3(x²+2x-3)=3(x+3)(x-1)=0,得x₁=-3,x₂=1;
再令∂f/∂y=-3y²=0,得y=0;
故得驻点M(-3,0);N(1,0);
A=∂²f/∂x²=6x+6;B=∂²f/∂x∂y=0;C=∂²f/∂y²=0;
对驻点M(-3,0):A=-18+6=-12;B=0;C=0;B²-AC=0,故M是否是极值点,不能确定;
对驻点N(1,0):A=6+6=12;B=0;C=0;B²-AC=0,故N是否是极值点,也不能确定.
令y=0,即用xoz平面去截此曲面,得平面曲线f(x)=x³+3x²-9x,令df/dx=3x²+6x-9=3(x+3)(x-1)=0
故在此截面内有极大点x=-3,极小点x=1;再用x=-3的平面去截此曲面,得f(-3,y)=27-y³,这是
一个关于y的奇函数,y=0不是极值点;∴M不是极值点.再用x=1的平面去截此曲面,得f(1,y)
=-5-y³,这也是关于y的奇函数,y=0也不是极值点;结论:原函数f(x,y)没有极值.
令∂f/∂x=3x²+6x-9=3(x²+2x-3)=3(x+3)(x-1)=0,得x₁=-3,x₂=1;
再令∂f/∂y=-3y²=0,得y=0;
故得驻点M(-3,0);N(1,0);
A=∂²f/∂x²=6x+6;B=∂²f/∂x∂y=0;C=∂²f/∂y²=0;
对驻点M(-3,0):A=-18+6=-12;B=0;C=0;B²-AC=0,故M是否是极值点,不能确定;
对驻点N(1,0):A=6+6=12;B=0;C=0;B²-AC=0,故N是否是极值点,也不能确定.
令y=0,即用xoz平面去截此曲面,得平面曲线f(x)=x³+3x²-9x,令df/dx=3x²+6x-9=3(x+3)(x-1)=0
故在此截面内有极大点x=-3,极小点x=1;再用x=-3的平面去截此曲面,得f(-3,y)=27-y³,这是
一个关于y的奇函数,y=0不是极值点;∴M不是极值点.再用x=1的平面去截此曲面,得f(1,y)
=-5-y³,这也是关于y的奇函数,y=0也不是极值点;结论:原函数f(x,y)没有极值.
求函数f(x,y)=x^3-y^2-3x+2y的极值
求函数f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x的极值
求函数f(x,y)=x³-y³+3x²+3y²-9x的极值.
求函数f(x,y)=x^3+y^3-2x^2-2y^2+6x的极值
求函数f(x,y)=x^3+y^3-2x^2-2y^2+4x的极值
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