作业帮（3）（4）两问不会,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/07 13:44:11
（3）（4）两问不会,
第（3）问：
显然,这个方程没有什么特别之处,只有分离变数了.
假设u(x,y)＝X(x)*Y(y),则代入原方程,得：
Y*dX/dx ＝ y*x*Y*X （1）
显然当Y＝0时,方程恒等,固u=0是方程的一个解；而当Y不为0时,将（1）两边除以Y,并简单操作得：
dX/X = yx*dx （2）
此时出现矛盾,因为X已经显然不是仅关于x的函数了.然而,如果将X替换为Z(x,y),等式仍然成立.于是替换X为Z（即u(x,y)=Y(y)*Z(x,y)）,并对（2）两遍同时积分,有：
ln(Z)=0.5*yx²+k
即：Z=exp(0.5*yx²+k)
最终有通
u = Y*exp(0.5*yx²+k) （3）
对于第(4)问：
注：下面的D表示偏微分符号,d表示普通的微分符号.
首先,根据（3）式,以及第一个条件,显然有：
Y(y=0)＝0,这是因为exp不可能为0.
另外,根据（3）,显然又有：
Du/Dy
= dY/dy*exp(0.5*yx²+k)＋Y*0.5*x²*exp(0.5*yx²+k)
即：
Du/Dy(1,y)＝(dY/dy+0.5*Y)*exp(0.5*y+k) （4）
根据第2个条件和（4）式,有：
dY/dy + 0.5*Y = sin(y)*K （5）
其中K＝exp(-k)
这是典型的一阶线型非齐次微分方程.套用公式得：
Y = y1*(∫sin(y)*K/y1*dy+C)
其中
y1 = exp(-∫0.5*dy) = exp(-0.5y)
可得到最终解.至于积分过程,我就省略了,反正这是一个典型的RC电路的零状态响应方程,（因为Y(y=0)＝0）,网上随便搜都有详细的积分过程描述,我这里直接写出结果：
Y＝2K/5*（2*exp(-y/2)+sin(y)-2*cos(y)）
将上式代入（3）,并注意K=exp(-k),最终得：
u = 2/5*[2*exp(-y/2)+sin(y)-2*cos(y)]*exp(0.5*yx²)
我用Matlab验证过,是对的,这的确是满足（3）、（4）问条件的一个解.
显然,这个方程没有什么特别之处,只有分离变数了.
假设u(x,y)＝X(x)*Y(y),则代入原方程,得：
Y*dX/dx ＝ y*x*Y*X （1）
显然当Y＝0时,方程恒等,固u=0是方程的一个解；而当Y不为0时,将（1）两边除以Y,并简单操作得：
dX/X = yx*dx （2）
此时出现矛盾,因为X已经显然不是仅关于x的函数了.然而,如果将X替换为Z(x,y),等式仍然成立.于是替换X为Z（即u(x,y)=Y(y)*Z(x,y)）,并对（2）两遍同时积分,有：
ln(Z)=0.5*yx²+k
即：Z=exp(0.5*yx²+k)
最终有通
u = Y*exp(0.5*yx²+k) （3）
对于第(4)问：
注：下面的D表示偏微分符号,d表示普通的微分符号.
首先,根据（3）式,以及第一个条件,显然有：
Y(y=0)＝0,这是因为exp不可能为0.
另外,根据（3）,显然又有：
Du/Dy
= dY/dy*exp(0.5*yx²+k)＋Y*0.5*x²*exp(0.5*yx²+k)
即：
Du/Dy(1,y)＝(dY/dy+0.5*Y)*exp(0.5*y+k) （4）
根据第2个条件和（4）式,有：
dY/dy + 0.5*Y = sin(y)*K （5）
其中K＝exp(-k)
这是典型的一阶线型非齐次微分方程.套用公式得：
Y = y1*(∫sin(y)*K/y1*dy+C)
其中
y1 = exp(-∫0.5*dy) = exp(-0.5y)
可得到最终解.至于积分过程,我就省略了,反正这是一个典型的RC电路的零状态响应方程,（因为Y(y=0)＝0）,网上随便搜都有详细的积分过程描述,我这里直接写出结果：
Y＝2K/5*（2*exp(-y/2)+sin(y)-2*cos(y)）
将上式代入（3）,并注意K=exp(-k),最终得：
u = 2/5*[2*exp(-y/2)+sin(y)-2*cos(y)]*exp(0.5*yx²)
我用Matlab验证过,是对的,这的确是满足（3）、（4）问条件的一个解.