作业帮(1)判断2是否为模1033的一个平方?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/06 16:44:26
(1)判断2是否为模1033的一个平方?
(2)判断方程x2=119 mod 1009是否有解?
(3)判定3是不是模2009的一个平方?
(2)判断方程x2=119 mod 1009是否有解?
(3)判定3是不是模2009的一个平方?
(1) 1033是素数,且1033≡1 (mod8)
∴(2/1033)=1 即2是模1033的一个二次剩余
(2) 1009是素数,且1009≡1 (mod4)
∴(119/1009)=(7/1009)(17/1009)
=(1009/7)(1009/17)=(1/7)(6/17)=(2/17)(3/17)
而17≡1 (mod8),∴(2/17)=1
(3/17)=(17/3)=(2/3)=-1
∴(119/1009)=-1,即x²≡119 mod(1009) 无解
(3) 2009=7²*41,∴若3是模2009的一个平方
则3也是模41的一个平方,而41≡1 (mod4)
∴(3/41)=(41/3)=(2/3)=-1,矛盾
∴3不是模2009的一个平方
∴(2/1033)=1 即2是模1033的一个二次剩余
(2) 1009是素数,且1009≡1 (mod4)
∴(119/1009)=(7/1009)(17/1009)
=(1009/7)(1009/17)=(1/7)(6/17)=(2/17)(3/17)
而17≡1 (mod8),∴(2/17)=1
(3/17)=(17/3)=(2/3)=-1
∴(119/1009)=-1,即x²≡119 mod(1009) 无解
(3) 2009=7²*41,∴若3是模2009的一个平方
则3也是模41的一个平方,而41≡1 (mod4)
∴(3/41)=(41/3)=(2/3)=-1,矛盾
∴3不是模2009的一个平方