立体几何4.详细
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/28 23:56:04
三棱椎P-ABC中,定点P在平面ABC上的射影为O,满足OA+OB+OC=0(均为向量),A点在侧面PBC上的射影H是三角形PBC的垂心,PA=6,则此三棱锥体积最大值是?
解题思路: 有问题请添加讨论
解题过程:
∵向量OA+向量OB+向量OC=0向量
∴O为⊿ABC的重心
又∵A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心
∴PH⊥BC
又∵PA在侧面PBC上的射影为PH
∴PA⊥BC
又∵PA在面ABC上的射影为PO
∴AO⊥BC.
同理可得CO⊥AB
∴O是△ABC的垂心.
由于⊿ABC的重心与垂心重合,所以⊿ABC为等比三角形,即三棱锥P-ABC为正三棱锥.
设AB=x,则AO=x3,
∴PO=36―x23
∴V= 13×34x2×36―x3=112108x4―x6,
令f(x)=108x4―x6,则fノ(x)=6x3(72―x2)
∴当x∈(0,62)时f(x)递增;当x∈(62,63)时f(x)递减,故x=62时f(x)取得最大值36
最终答案:略
解题过程:
∵向量OA+向量OB+向量OC=0向量
∴O为⊿ABC的重心
又∵A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心
∴PH⊥BC
又∵PA在侧面PBC上的射影为PH
∴PA⊥BC
又∵PA在面ABC上的射影为PO
∴AO⊥BC.
同理可得CO⊥AB
∴O是△ABC的垂心.
由于⊿ABC的重心与垂心重合,所以⊿ABC为等比三角形,即三棱锥P-ABC为正三棱锥.
设AB=x,则AO=x3,
∴PO=36―x23
∴V= 13×34x2×36―x3=112108x4―x6,
令f(x)=108x4―x6,则fノ(x)=6x3(72―x2)
∴当x∈(0,62)时f(x)递增;当x∈(62,63)时f(x)递减,故x=62时f(x)取得最大值36
最终答案:略