作业帮sdgk p23 迁3
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/01 09:01:40
谢谢
解题思路： 此题考查的知识点有： 1、二次函数的性质： 2、函数的恒成立问题：
解题过程：
解：此题实质上是求二次函数f(x)在区间（1,4）上的最小值，并且使最小值恒大于0. （1）当a=0时，f(x)=-2x+2，f(x)在区间（1,4）上为单调递减，此时函数最小值f(4)=-6<0，显然f(x)在（1，4）区间上不可能恒为正，故a=0不合题意；
（2）当a≠0时，f(x)是二次函数，可求出其对称轴为x=1/a，顶点坐标为(1/a,2-1/a),f(1)=a,f(4)=16a-6，再分两种情况； ①当a<0时，抛物线开口向下，且对称轴位于y轴左侧，二次函数性质可知f(x)在（1，4）区间是单调递减的，且此时函数最小值f(1)=a<0,故a<0不合题意；
② 当a>0时，抛物线开口向上，对称轴位于y轴右侧，此时需对对称轴与区间(1,4)的位置关系展开讨论：
❶当1/a≤1，即a≥1时，对称轴位于（1，4）左侧，此时f(x)在(1,4)区间上 是单调递增的，此时函数最小值f(1)=a≥1>0,显然满足f(x)在（1，4）上恒大于0，故a≥1是满足题意的a的取值范围；
❷ 当1/a≥4，即a≤1/4时，对称轴位于(1,4)右侧，此时f(x)在（1，4）区间是单调递减的，此时函数最小值f(4)=16a-6≤-2<0，显然f(x)不可能在(1,4)上恒大于0，故a≤1/4不合题意；
❸当1<1/a<4，即1/4<a<1时，对称轴在（1，4）区间内，f(x)的顶点对应其最小值位于（1，4）内，若要求f(x)在（1，4）内恒为正，那么只需满足顶点的函数值(前面已求)：2-1/a>0，即可，解此不等式可得出a>1/2,故1/2<a<1是满足题意的a的取值范围
综上所述，可以得出满足f(x)在(1,4)上恒大于0的a的取值范围是(1/2,+∞)
解题过程：
解：此题实质上是求二次函数f(x)在区间（1,4）上的最小值，并且使最小值恒大于0. （1）当a=0时，f(x)=-2x+2，f(x)在区间（1,4）上为单调递减，此时函数最小值f(4)=-6<0，显然f(x)在（1，4）区间上不可能恒为正，故a=0不合题意；
（2）当a≠0时，f(x)是二次函数，可求出其对称轴为x=1/a，顶点坐标为(1/a,2-1/a),f(1)=a,f(4)=16a-6，再分两种情况； ①当a<0时，抛物线开口向下，且对称轴位于y轴左侧，二次函数性质可知f(x)在（1，4）区间是单调递减的，且此时函数最小值f(1)=a<0,故a<0不合题意；
② 当a>0时，抛物线开口向上，对称轴位于y轴右侧，此时需对对称轴与区间(1,4)的位置关系展开讨论：
❶当1/a≤1，即a≥1时，对称轴位于（1，4）左侧，此时f(x)在(1,4)区间上 是单调递增的，此时函数最小值f(1)=a≥1>0,显然满足f(x)在（1，4）上恒大于0，故a≥1是满足题意的a的取值范围；
❷ 当1/a≥4，即a≤1/4时，对称轴位于(1,4)右侧，此时f(x)在（1，4）区间是单调递减的，此时函数最小值f(4)=16a-6≤-2<0，显然f(x)不可能在(1,4)上恒大于0，故a≤1/4不合题意；
❸当1<1/a<4，即1/4<a<1时，对称轴在（1，4）区间内，f(x)的顶点对应其最小值位于（1，4）内，若要求f(x)在（1，4）内恒为正，那么只需满足顶点的函数值(前面已求)：2-1/a>0，即可，解此不等式可得出a>1/2,故1/2<a<1是满足题意的a的取值范围
综上所述，可以得出满足f(x)在(1,4)上恒大于0的a的取值范围是(1/2,+∞)