在数学的学习过程中,我们经常用以下的探索过程解决相关问题.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/29 09:01:30
在数学的学习过程中,我们经常用以下的探索过程解决相关问题.
数学问题:三角形有3个顶点,如果在它的内部再画n个点,并以这(n+3)个点为顶点画三角形,那么可以剪得多少个这样的三角形?
探索规律:为了解决这个问题,我们可以从n=1、n=2、n=3等具体的、简单的情形入手,探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律.
(1)填表:当三角形内有4个点时,把表格补充完整;
(2)你发现的变化规律是:______;
(3)猜想:当三角形内点的个数为n时,最多可以剪得______个三角形;
像这样通过对简单情形的观察、分析,从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳.
问题解决:请你尝试用归纳的方法探索1+3+5+7+…+(2n-1)+(2n+1)的和是多少?
数学问题:三角形有3个顶点,如果在它的内部再画n个点,并以这(n+3)个点为顶点画三角形,那么可以剪得多少个这样的三角形?
探索规律:为了解决这个问题,我们可以从n=1、n=2、n=3等具体的、简单的情形入手,探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律.
三角形内点的个数 | 图形 | 最多剪出的小三解形个数 |
1 | ![]() | 3 |
2 | ![]() | 5 |
3 | ![]() | 7 |
4 | ||
… | … | … |
(2)你发现的变化规律是:______;
(3)猜想:当三角形内点的个数为n时,最多可以剪得______个三角形;
像这样通过对简单情形的观察、分析,从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳.
问题解决:请你尝试用归纳的方法探索1+3+5+7+…+(2n-1)+(2n+1)的和是多少?
(1)当三角形内有4个点时,把表格补充完整如下:
三角形内点的个数 图形 最多剪出的小三解形个数
1
3
2
5
3
7
4
9
… … …(2)∵当三角形内点的个数为1时,最多可以剪得3个三角形;
当三角形内点的个数为2时,最多可以剪得5个三角形;
当三角形内点的个数为3时,最多可以剪得7个三角形;
当三角形内点的个数为4时,最多可以剪得9个三角形;
∴变化规律是:剪出的三角形个数是连续的奇数;
故答案为:剪出的三角形个数是连续的奇数;
(3)∵1×2+1=3,2×2+1=5,3×2+1=7,
∴当三角形内点的个数为n时,最多可以剪得 2n+1个三角形;
1+3+5+7+…+(2n-1)+(2n+1)
=
1
2[1+3+5+7+…+(2n-1)+(2n+1)][(2n+1)+(2n-1)+…+7+5+3+1]
=
1
2(n+1)(1+2n+1)
=(n+1)2
=n2+2n+1.
三角形内点的个数 图形 最多剪出的小三解形个数
1
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/7e/f7e0cf74625d34fcd287cad84c7e5ef4.jpg)
2
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/e4/ce45d923fdc2cf3b28c786840dbe546d.jpg)
3
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/a5/5a51908270f662f13dcc135f77e17f98.jpg)
4
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/13/81311403746dbe63f362d03597b6c951.jpg)
… … …(2)∵当三角形内点的个数为1时,最多可以剪得3个三角形;
当三角形内点的个数为2时,最多可以剪得5个三角形;
当三角形内点的个数为3时,最多可以剪得7个三角形;
当三角形内点的个数为4时,最多可以剪得9个三角形;
∴变化规律是:剪出的三角形个数是连续的奇数;
故答案为:剪出的三角形个数是连续的奇数;
(3)∵1×2+1=3,2×2+1=5,3×2+1=7,
∴当三角形内点的个数为n时,最多可以剪得 2n+1个三角形;
1+3+5+7+…+(2n-1)+(2n+1)
=
1
2[1+3+5+7+…+(2n-1)+(2n+1)][(2n+1)+(2n-1)+…+7+5+3+1]
=
1
2(n+1)(1+2n+1)
=(n+1)2
=n2+2n+1.
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