如何在不使用常数变易法的条件下求出一阶微分方程y'+P(x)y=Q(x)的通解?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/24 21:09:38
如何在不使用常数变易法的条件下求出一阶微分方程y'+P(x)y=Q(x)的通解?
y'+P(x)y=0的通解是y=Ce^(-∫P(x)dx),也就是y×e^(∫P(x)dx)=C,所以[y×e^(∫P(x)dx)]'=0,即y'×e^(∫P(x)dx)+y×e^(∫P(x)dx)×P(x)=0,这相当于原微分方程y'+P(x)y=0两边同乘以了e^(∫P(x)dx).
由此考虑在y'+P(x)y=Q(x)两边也同乘以e^(∫P(x)dx),得y'×e^(∫P(x)dx)+y×e^(∫P(x)dx)×p(x)y=e^(∫P(x)dx)×Q(x),即[y×e^(∫P(x)dx)]'=e^(∫P(x)dx)×Q(x),两边积分得y×e^(∫P(x)dx)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C,所以y=e^(-∫P(x)dx)×[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C].这就是一阶非齐次线性微分方程的通解公式.
由此考虑在y'+P(x)y=Q(x)两边也同乘以e^(∫P(x)dx),得y'×e^(∫P(x)dx)+y×e^(∫P(x)dx)×p(x)y=e^(∫P(x)dx)×Q(x),即[y×e^(∫P(x)dx)]'=e^(∫P(x)dx)×Q(x),两边积分得y×e^(∫P(x)dx)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C,所以y=e^(-∫P(x)dx)×[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C].这就是一阶非齐次线性微分方程的通解公式.
一阶线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)的通解公式是什么?
整个式子除以x就是个一阶线性微分方程了,不要套用公式,先求出对应的齐次方程的通解,再用常数变易法.balabala&nb
一阶线性微分方程,型如:y′+P(x)y=Q(x),求其通解公式的推导过程.
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用常数变易法求微分方程y'-y=ex的通解?
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一阶微分方程y'=e的2x-y次方的通解