作业帮导数的有关求参数范围题型
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/18 23:32:05
导数的有关求参数范围题型
设函数f（x）＝X^4＋aX^3＋2X^2+b（X,a,b属于R）
1.若对于任意的a属于〔-2.2〕,不等式f（x）
设函数f（x）＝X^4＋aX^3＋2X^2+b（X,a,b属于R）
1.若对于任意的a属于〔-2.2〕,不等式f（x）
这个是最典型的参数类问题了
首先不管三七二十一看到3次方以上-1次方以下和ln啊e^x啊之类的时候就求导,求得
f'（x）=4x³+3ax²+4x
对于任意的a∈[-2,2],不等式f（x）≤1在[-1,1]上恒成立,也就是说f（x）在[-1,1]的最大值小于等于1,这就转化成常见的最值问题,于是分析f（x）单调性
令f'（x）=0,得到x（4x²+3ax+4）=0……①,
这个方程含有一个关于a的二次因式,且不能因式分解,也不能直接求解,考虑从△入手,看看其判别式的情况,再决定是否进行讨论
由条件a∈［-2,2］可知Δ=9a²-64＜0,
故①只有一个解x=0
这说明无需分类讨论,现在考虑单调性
当x＜0时,f′(x)＜0;当x＞0时,f′(x)＞0.
即f（x）在[-1,0]上单调递减,[0,1]上单调递增
因此函数f(x)在［-1,1］上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者.
千万不要在这个时候讨论谁比较大,因为两个都要小于等于1,直接以此为条件列式子即可,毕竟我们要的只不过是b的值.
为使对任意的a∈［-2,2］,不等式f(x)≤1在［-1,1］上恒成立,当且仅当即在a∈［-2,2］上恒成立.
则f（1）≤1,f（-1）≤1
即b≤-2-a且b≤-2+a,考虑a∈[-2,2]
∴b≤-4,因此满足条件的b的取值范围是(-∞,-4］.
这就是我们要的解答了
首先不管三七二十一看到3次方以上-1次方以下和ln啊e^x啊之类的时候就求导,求得
f'（x）=4x³+3ax²+4x
对于任意的a∈[-2,2],不等式f（x）≤1在[-1,1]上恒成立,也就是说f（x）在[-1,1]的最大值小于等于1,这就转化成常见的最值问题,于是分析f（x）单调性
令f'（x）=0,得到x（4x²+3ax+4）=0……①,
这个方程含有一个关于a的二次因式,且不能因式分解,也不能直接求解,考虑从△入手,看看其判别式的情况,再决定是否进行讨论
由条件a∈［-2,2］可知Δ=9a²-64＜0,
故①只有一个解x=0
这说明无需分类讨论,现在考虑单调性
当x＜0时,f′(x)＜0;当x＞0时,f′(x)＞0.
即f（x）在[-1,0]上单调递减,[0,1]上单调递增
因此函数f(x)在［-1,1］上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者.
千万不要在这个时候讨论谁比较大,因为两个都要小于等于1,直接以此为条件列式子即可,毕竟我们要的只不过是b的值.
为使对任意的a∈［-2,2］,不等式f(x)≤1在［-1,1］上恒成立,当且仅当即在a∈［-2,2］上恒成立.
则f（1）≤1,f（-1）≤1
即b≤-2-a且b≤-2+a,考虑a∈[-2,2]
∴b≤-4,因此满足条件的b的取值范围是(-∞,-4］.
这就是我们要的解答了