设 r=√(x^2+y^2+z^2 ) 证明 ∂^2/∂x^2+∂^2r/ͦ
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/18 02:27:20
设 r=√(x^2+y^2+z^2 ) 证明 ∂^2/∂x^2+∂^2r/∂r^2+∂^2r/∂z^2=2/r
显然∂r/∂x= x /√(x^2+y^2+z^2 ) = x/r,
而∂²r/∂x²= ∂(x/r) / ∂x
= (r -x*∂r/∂x) /r^2 = (r- x^2 /r) /r^2 = 1/r - x^2 /r^3
同理可以得到
∂²r/∂y²= 1/r -y^2/r^3
∂²r/∂z²= 1/r -z^2/r^3
所以
∂²r/∂x²+∂²r/∂y²+∂²r/∂z²
= 1/r - x^2 /r^3 + 1/r - y^2 /r^3 +1/r - z^2 /r^3
= 3/r - (x^2+y^2 +z^2)/r^3
而r=√(x^2+y^2+z^2 ),即(x^2+y^2+z^2)=r^2,
故
∂²r/∂x²+∂²r/∂y²+∂²r/∂z²
=3/r - (x^2+y^2 +z^2)/r^3
=3/r - r/r^3
=2/r
问题得到了证明
而∂²r/∂x²= ∂(x/r) / ∂x
= (r -x*∂r/∂x) /r^2 = (r- x^2 /r) /r^2 = 1/r - x^2 /r^3
同理可以得到
∂²r/∂y²= 1/r -y^2/r^3
∂²r/∂z²= 1/r -z^2/r^3
所以
∂²r/∂x²+∂²r/∂y²+∂²r/∂z²
= 1/r - x^2 /r^3 + 1/r - y^2 /r^3 +1/r - z^2 /r^3
= 3/r - (x^2+y^2 +z^2)/r^3
而r=√(x^2+y^2+z^2 ),即(x^2+y^2+z^2)=r^2,
故
∂²r/∂x²+∂²r/∂y²+∂²r/∂z²
=3/r - (x^2+y^2 +z^2)/r^3
=3/r - r/r^3
=2/r
问题得到了证明
一道高等数学证明题 设u=1/r,r=根号x^2+y^2+z^2
设x,y,z∈R+,xy+yz+xz=1,证明不等式:(xy)^2/z+(xz)^2/y+(yz)^2/x+6xyz≥x
设f:R×R→R×R,f(〈x,y〉)=< (x+y)/2,(x-y)/2>,证明f是双射的
证明 已知xyz∈R^+, x^2x * y^2y* z^2z≥x^y+x* y^z+x * z^x+y
设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2最小值
求教一道高数偏导数题设r=根号(x^2+y^2+z^2),证明:x、y、z的二阶偏导数加在一起等于2/r我怎么证都算不出
已知x,y,z属于R+,x+y+z=3,(1)求1/x+1/y+1/z的最小值,(2)证明:3
设z^2=(x+yi)^2=5-12i(x,y∈R),求z
设复数z=x+yi(x,y∈R)且|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为______.
设Z=x+yi(x,y属于R)|Z+2|-|Z-2|=4 复数Z所对应的点轨迹是
设 x,y∈R ,且3^x=4^y=6^z,求证 1/z - 1/x =1/2y .
设x,y属于R且3^x=4^y=6^z,求1/z-1/x-1/2y